Loxodrómica, la curva de los navegantes

Imagínate que eres el capitán de un barco y que acabas de zarpar hacia tu destino. Has decidido prescindir de cualquier forma de orientación moderna,  y te haces a la mar con la única ayuda de una brújula y un mapa para orientarte. A la antigua usanza. En esta situación, ¿qué trayectoria seguirías para llegar a buen puerto?

La respuesta, en principio, parece evidente: trazar el camino más corto entre el origen y el destino, que en este caso sería el arco de una circunferencia dibujada desde el centro de la Tierra sobre la superficie terrestre. Esto es lo que se conoce como círculo máximo. Pero, aunque la ruta más corta suele ser también la más rápida, este método presenta un problema en la práctica. Si quisieras seguir este camino con una brújula tendrías que estar continuamente ajustando la dirección del barco en función de la lectura de la brújula, una tarea que dificulta enormemente la navegación.

Existe, sin embargo, otra posibilidad. Se puede seguir una trayectoria tal que el barco siempre se dirija en la misma dirección de la brújula, es decir, que siga el mismo rumbo. La distancia a recorrer así hasta el destino es más larga, pero en cambio la navegación es más sencilla. La trayectoria que describe un barco de esta manera es lo que se conoce como loxodrómica, una palabra que viene del griego loxos, que quiere decir inclinado y drome, que significa rumbo. Una loxodrómica es una curva que corta todos los meridianos terrestres –las líneas imaginarias que recorren la superficie de la Tierra de un polo a otro- con el mismo ángulo. De acuerdo con esta definición, un caso especial de loxodrómica serían los paralelos terrestres, las líneas de latitud constante. Un paralelo cruza perpendicularmente los meridianos de la Tierra; se trata, por tanto, de una loxodrómica de 90º. Cualquier otra loxodrómica sigue una curva que se enrolla como una enorme serpiente a lo largo de la superficie terrestre y que traza espirales alrededor de los polos sin llegar a alcanzarlos nunca.

Ejemplo de una loxodrómica
sobre la superficie terrestre 

Si la Tierra fuese plana, los meridianos serían paralelos unos a otros y entonces una loxodrómica no sería más que una línea recta, por lo que coincidiría con el camino más corto entre dos puntos. Pero como bien sabes, la Tierra es una esfera (vale, un poco achatada por los polos) y los meridianos no son paralelos. Cuanto más cerca del polo se encuentra uno, más juntos están los meridianos, de manera que la trayectoria de la loxodrómica tiene que inclinarse cada vez más para cortarlos siempre con el mismo ángulo. Entonces, la diferencia entre un círculo máximo y una loxodrómica se hace más apreciable.

Un poco de historia

La historia de la loxodrómica empieza cuando los marineros asumieron que la Tierra no era plana y que había que tener en cuenta su curvatura. Hasta entonces se creía que, si se navegaba sobre la superficie terrestre manteniendo una dirección fija con la brújula, la trayectoria recorrida era un círculo máximo. Dicho de otra manera, si la Tierra entera fuese un enorme océano, un navío que siguiese un rumbo fijo llegaría a dar la vuelta al mundo, volviendo al punto de partida.

El primero en comprender lo que ocurría realmente fue el matemático, astrónomo y geógrafo Pedro Nunes, seguramente el científico portugués más importante del siglo XVI. Según cuenta el propio Nunes, fue una conversación con el almirante Martin Afonso de Sousa la que le puso sobre la pista. A su regreso de un viaje a Brasil entre 1530 y 1532, Sousa se quejó amargamente de que en el trayecto de vuelta, a pesar de mantener un determinado rumbo fijo, había descubierto asombrado que su barco se acercaba al ecuador, contrariamente a sus cálculos. Sousa no entendía lo que pasaba y consultó a Nunes, que había sido nombrado Cosmólogo Real en 1529 y era la máxima autoridad de la corte portuguesa en cuestiones científicas.

Después de escuchar la narración de Sousa, Nunes reflexionó sobre el asunto y entendió que no era lo mismo navegar en línea recta –es decir, manteniendo el timón en la misma posición, suponiendo que el viento y las mareas son constantes- que navegar con rumbo fijo –esto es, con la brújula señalando siempre la misma dirección geográfica-. Nunes identificó las trayectorias de línea recta con los círculos máximos y demostró que, al seguir un rumbo fijo, jamás se podría volver al punto de partida, sino que la trayectoria descrita se iría acercando a uno de los polos, alrededor del cual daría infinitas vueltas sin llegar nunca a él.

Pedro Nunes (1502-1577), el
fundador de la navegación científica.

Nunes publicó sus conclusiones en 1537 en dos volúmenes, “Tratado sobre navegación marítima” y “Tratado sobre algunas dudas de la época sobre navegación marítima”, a la que seguiría en 1566 una extensión de sus ideas, "Petri Nonii Salaciensis Opera". Ahí fue cuando Nunes utilizó por primera vez la palabra “rumbo”. Curiosamente, el científico portugués nunca llegó a utilizar el término loxodrómica; Nunes se refirió a los caminos de rumbo fijo como “un cierto tipo de curva” o “una línea irregular y curva”. El nombre de loxodrómica sería acuñado en 1624 por Willebrord Snell, el físico y matemático holandés que había formulado unos años antes la famosa ley de refracción de la luz. Snell utilizó una latinización de la palabra holandesa kromstrijk -dirección curva-, usada por otro científico holandés, Simon Stevin, en su descripción del trabajo de Nunes.

Una fiel compañera

Desde entonces, la loxodrómica ha sido elegida como la trayectoria habitual de barcos y, más tarde, aviones. Cuando las distancias eran enormes y seguir el círculo máximo suponía un ahorro significativo, se utilizaba un camino alternativo. Se dividía la ruta del círculo máximo en diversos tramos, seleccionando una serie de puntos intermedios, y se aproximaba cada uno de estos pequeños segmentos por su correspondiente loxodrómica. De esta manera se lograba acortar la trayectoria, asemejándola a un círculo máximo, sin complicar demasiado la navegación.

La loxodrómica también ha encontrado aplicaciones más sorprendentes fuera del ámbito de la navegación. Los musulmanes deben dirigir sus rezos en la dirección que apunta hacia la Kaaba, el lugar sagrado del Islam que se encuentra en La Meca. Esta dirección se conoce con el nombre de alquibla. Determinar la dirección de la alquibla desde cualquier parte del mundo ha sido un tema tratado por los científicos árabes más importantes de la historia, como Al-Khwarizmi (780-850), el padre del álgebra. Aunque hoy en día los puristas lo consideran una práctica errónea, algunos colectivos musulmanes de Norteamérica utilizan una loxodrómica como alquibla para rezar en dirección a la Meca, en vez de hacer uso de la trayectoria tradicional, más corta (en este caso no hay que preocuparse por las complicaciones causadas por los cambios de rumbo).

En verde, la alquibla, el camino más corto a la Kaaba.
(Autor: RokerHRO, 2009)

En los últimos años del siglo XX se han desarrollado modernas técnicas de posicionamiento global, como el GPS, que permite establecer la localización de un objeto con una precisión de unos pocos metros, gracias a una red de satélites que orbitan la Tierra a más de 20.000 km de altura. Esto, combinado con los avances de los sistemas de control por ordenador, ha revolucionado la navegación marítima y aérea. Hoy en día no supone ningún problema seguir una trayectoria de círculo máximo. Pero cualquier piloto que se precie debe saber todavía lo que es una loxodrómica.

NOTA: Esta entrada participa en la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es en esta ocasión Gaussianos.

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