La proyección de Mercator

Como ya vimos en una entrada anterior, a mediados del siglo XVI los marineros empezaron a entender la diferencia entre seguir una trayectoria de rumbo constante –describiendo lo que se denominaría más tarde una loxodrómica- y mantener fijo el timón del barco, siguiendo la trayectoria de un círculo máximo. Eso ocurrió gracias al trabajo del científico portugués Pedro Nunes.

Una vez dado este paso, todavía quedaba un aspecto importante por resolver. ¿Cómo representar de forma adecuada la Tierra esférica sobre un mapa plano? A fin de cuentas, el marinero trazaba sobre el mapa la ruta que más le convenía y luego intentaba seguirla mediante los instrumentos adecuados, como la brújula. El problema no era nuevo, pues ya había traído de cabeza a los antiguos griegos.

Retrato imaginario de Ptolomeo 
de la Edad Media. 

Uno de ellos fue Claudio Ptolomeo, astrónomo y matemático que vivió en Ale­jandría en el siglo II d.C. Aunque hoy en día se le recuerda por haber escrito el Almagesto, donde recopiló todo el saber astronómico de su época, Ptolomeo también destacó como geógrafo. Convencido de que con la ayuda de las matemáticas se podía describir la Tierra de forma precisa, fue el primero en utilizar una red de paralelos de latitud y meridianos de longitud como sistema de coordenadas para situar puntos sobre la superficie terrestre (un sistema que ya era usado por los astrónomos griegos para ubicar las estrellas en la bóveda celeste). Describió diversos métodos de proyección cartográfica y catalogó unas ocho mil ciudades, montañas, ríos y otros elementos geográficos del mundo. Recopiló en un índice todos estos nombres, junto con sus coordenadas de longitud y latitud para facilitar su localización. Sus mapas tenían la escala a la que estaban dibujados, así como signos convencionales explicados en leyendas, y estaban orientados de forma que el norte quedara arriba y el este a la derecha. Todas estas prácticas tan habituales en la actualidad fueron incluidas por Ptolomeo en una vasta obra llamada Geographia, que constaba de ocho volúmenes y que fue escrita hace casi dos mil años.

El mundo según Ptolomeo, con sus meridianos y paralelos.
En los márgenes del mapa se aprecian en rojo las escalas de longitud y latitud.

Ptolomeo realizó enormes avances, aunque también cometió algunos errores de bulto. Uno de ellos tuvo una importancia decisiva en la historia de la humanidad…para bien. Ptolomeo subestimó el tamaño de la Tierra, lo que le llevó a creer que el mundo conocido entonces –Europa, algo de África y parte de Asia- ocupaba la mitad de la esfera terrestre, en cuanto a longitud (hoy sabemos que apenas llega a un tercio). Este grave error hizo pensar a navegantes posteriores, como Cristóbal Colón, que un viaje de Europa a las Indias por el oeste sería igual de largo que por el este. Si Colón hubiese sabido lo equivocado que estaba Ptolomeo, es muy probable que nunca se hubiera animado a viajar a las Indias y descubrir América.

La influencia de Ptolomeo fue tal que incluso después de la Edad Media, su Geographia seguía siendo la obra de referencia.

Más allá de Ptolomeo

La situación empezó a cambiar durante los siglos XV y XVI. La exploración geográfica, con el descubrimiento de América, amplió las fronteras de la Tierra y dejó obsoletos los mapas medievales. Se reavivó el interés por la cartografía, con la idea de, no sólo completar los mapas, sino también mejorarlos.

Porque lo cierto es que los mapas de aquella época tenían graves defectos. Se basaban en una cuadrícula de líneas paralelas, una para la latitud y otra para la longitud. El problema era que el tamaño de un grado de longitud variaba con el paralelo de latitud en el que se medía, lo que distorsionaba las formas y confundía a los marineros, que basaban su rumbo en una línea recta dibujada entre dos puntos del mapa. 

La solución la dio el cartógrafo flamenco Gehrard Kremer (1512-1594), más conocido por su nombre latino, Gerardus Mercator, quien rompió con la tradición de Ptolomeo y cambió para siempre la ingeniería cartográfica mundial.

Retrato de Mercator.

Mercator nació en Rupelmonde, Flandes, y fue discípulo en Lovaina del ilustre cartógrafo, astrónomo y matemático Gemma Frisius. Su primer trabajo en solitario data de 1537, y fue un mapa a seis páginas de Palestina (hoy apenas daría para una). Fue acusado de protestantismo en 1544, salvándose por los pelos de ser ejecutado. Entonces se trasladó a Duisberg, donde retomó su actividad profesional, abriendo un taller de cartografía. En 1554 hizo un famoso mapa de Europa, en el que se “atrevió” a corregir a Ptolomeo, reduciendo la longitud del Mediterráneo a 53º, en vez de la tradicional estimación de Ptolomeo de 62º (hoy sabemos que está más cerca de 40º).

Pero lo mejor estaba por llegar. En 1569 publicó un mapa del mundo titulado Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Enmendata, o lo que es lo mismo, Nueva y Ampliada Descripción Corregida de la Tierra para Uso de Navegantes. Ahí fue donde Mercator introdujo la proyección que todavía hoy lleva su nombre, basada en un principio completamente nuevo.

La revolución de Mercator

Propiedades de la proyección de Mercator

Una proyección cartográfica no es más que una forma de representar la superficie redondeada y en tres dimensiones de la Tierra en un mapa plano de dos dimensiones. En este caso, Mercator ideó el siguiente método. Se imaginó la Tierra contenida en un cilindro infinitamente largo y cuyo radio fuese el radio terrestre, de forma que únicamente el ecuador tocase el cilindro. Entonces trazó rectas desde el centro de la Tierra hasta todos los puntos de la superficie terrestre. Estas rectas, al alargarse, cortarían también la superficie del cilindro, y de esta manera tendría una correspondencia entre los puntos de ambas superficies. Una vez hecho lo anterior, se podía desplegar el cilindro, generando un mapa plano de la superficie terrestre.

Diferencia entre una loxodrómica, línea recta
 en rojo, y un círculo máximo, en blanco,
en una proyección de Mercator.

Veamos algunas de sus características. Se dice que la proyección de Mercator es cilíndrica, puesto que la superficie sobre la que se proyecta es un cilindro. Además, los meridianos no convergen en los polos y forman, junto con los paralelos, una malla de líneas rectas perpendiculares unas con otras. Al conservar los ángulos de las líneas de latitud y longitud, se dice también que es conforme. Pero de todas sus propiedades, seguramente la más extraordinaria es que las líneas de rumbo fijo (nuestras queridas loxodrómicas) se convierten en líneas rectas en la proyección de Mercator. Esta cualidad tuvo un valor incalculable para los navegantes. Ahora sí, para establecer la ruta entre un lugar y otro, el marinero podía dibujar una línea recta en el mapa, determinar el rumbo y zarpar hacia su destino.

La proyección de Mercator creó mapas más exactos y útiles para la navegación que ninguno hasta entonces. Su uso se extendió durante el siglo XVIII e incluso ha llegado hasta nuestros días.

El mapa del mundo de 1569, la obra maestra de Mercator.

La proyección de Mercator, hoy

Como cualquier proyección cartográfica, la de Mercator tiene sus imperfecciones. Es conforme, pero a costa de exagerar el tamaño de las zonas más alejadas del Ecuador. Estos defectos se han trasladado durante muchos años a atlas y libros de geografía, de manera que hemos crecido acostumbrados a una visión de la realidad que, irónicamente, no es realista. Echemos primero un vistazo a un mapa de Mercator que seguramente te resulte familiar...

...Y ahora comentemos tres ejemplos muy clarificadores:

Ø   Localiza en el mapa a Groenlandia y compárala con África. Ambas tienen aproximadamente la misma superficie, ¿verdad? Para nada: ¡África es 14 veces más extensa que Groenlandia!

Ø    Haz lo propio con Alaska y México. La primera parece mucho más grande que el segundo, ¿no es cierto? ¡Pues no, todo lo contrario! México es algo mayor que Alaska.

Ø      Y por ultimo, una pregunta. ¿Qué continente dirías que es más extenso, África o la Antártida? Aunque es más difícil de calcular a ojo, seguro que nunca dirías que África es el doble de la Antártida. De nuevo, la proyección de Mercator nos engaña. (Y eso que en este mapa se ha suavizado la distorsión en el Polo Sur, de lo contrario la Antártida parecería todavía más grande.)

A pesar de estas distorsiones, la proyección de Mercator todavía se utiliza, por ejemplo, para zonas no muy alejadas del ecuador. También resulta especialmente indicada para mapas interactivos en los que el usuario puede ampliar una región determinada. Google Maps, sin ir más lejos, usa la proyección de Mercator. Puedes comprobarlo tú mismo accediendo a la aplicación y alejándote todo lo que puedas de tu ubicación. ¿A que el resultado se parece a la imagen que acabamos de comentar?

Sin embargo, es cierto que cada vez le está saliendo un mayor número de competidores. Entre los más usuales se encuentran la proyección cónica de Lambert, utilizada con frecuencia en la navegación aérea, la proyección de Winkel-Tripel, el estándar de la National Geographic Society para sus mapas, y la proyección de Mollweide, las dos últimas  con forma de elipse. En ocasiones, los mapas se realizan modificando o incluso combinando alguna de las proyecciones anteriores, con el objetivo de corregir las distorsiones en las zonas más delicadas, aunque para ello haya que generar otras nuevas en lugares secundarios, como pueden ser los océanos. 

Sea cual sea la que se utilice en el futuro, podemos estar seguros de una cosa: no tendrá la importancia histórica de la proyección de Mercator.

NOTA: Esta entrada participa en la Edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Los Matemáticos no son gente seria.

Fuentes:

1. Boyer, C. B., A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., 1968.
2. De Régules, S., Navegación, arte y ciencia de la orientación. Revista ¿Cómo ves?, nº 11, 22-25.
3. Crane, N., Mercator: The Man Who Mapped the Planet, Henry Holt, New York, 2002.

Imágenes:

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