El problema de la cuerda que rodea la Tierra

En esta ocasión traigo al blog un problema matemático. No te asustes, aunque aparecen algunas fórmulas, es bastante sencillo y merece la pena llegar hasta el final. La solución resulta sorprendente, al menos en un primer momento, y demuestra cómo a veces las matemáticas más básicas consiguen pillar desprevenida a nuestra intuición. 

Vamos allá. Supongamos que tienes un balón de fútbol y le atas una cuerda. Vamos a considerar que el balón no está abombado y es perfectamente esférico; también supondremos que la cuerda lo rodea de tal manera que forma una circunferencia cuyo radio es el mismo que el del balón. En esta situación, ¿cuánto deberías alargar la longitud de la cuerda para lograr que la distancia entre ella y la superficie del balón fuese, por ejemplo, de un decímetro en todos sus puntos? No contestes todavía y sigue leyendo.

A continuación nos olvidamos del balón de fútbol y pensamos en una esfera mucho más grande, la Tierra. (Vale, ya sé que está ligeramente achatada por los Polos, pero...). Nos buscamos una cuerda de algo más de cuarenta mil kilómetros y rodeamos con ella la Tierra por el Ecuador.  Y ahora nos hacemos la misma pregunta que antes. ¿Cuánto debería alargar la longitud de la cuerda para lograr que la distancia entre ella y la superficie fuera de un decímetro a lo largo de todo el ecuador?

Ahora ya puedes intentar responder a ambas preguntas. Te dejo un poco de tiempo para pensar mientras escucho a Coltrane...

¿Ya? Pues vamos con la solución. Llamemos r al radio del balón y R al radio de la Tierra. La longitud de la cuerda que se ciñe al balón equivale al perímetro de un círculo de radio r. Esta longitud se puede calcular utilizando una fórmula que todos aprendemos en la escuela, l=2pr. De forma análoga, en el caso de la Tierra, la longitud de la cuerda será L=2pR. Cuando separamos la cuerda, lo que hacemos es formar un nuevo círculo cuyo radio es un decímetro mayor. Es decir, l'=2p(r+1) y L'=2p(R+1), siempre que expresemos el radio en decímetros.

Sigamos, que ya queda poco. Si comparamos la longitud de la cuerda antes, 2pr, y después, 2p(r+1), vemos que la diferencia entre una y otra es 2p. Muy bien, ¿y para el caso de la Tierra? Haciendo lo propio, resulta que llegamos a la misma conclusión, 2p, es decir, ¡apenas unos 6,28 decímetros! De hecho, el resultado es siempre 2p, con independencia del radio de la esfera que consideremos, ya sea una canica, la Tierra o el Sol.

La conclusión, en realidad, no tiene nada de sorprendente. El perímetro de una circunferencia es proporcional a su radio y, por lo tanto, tiene una sencilla representación gráfica.

Si recordamos algo de matemáticas básicas, este tipo de ecuaciones se escriben de forma general y=mx, donde m es la pendiente de la recta. Haciendo un poco de memoria, cualquier variación de x, Dx, implica una variación de y, Dy, por lo que m=Dy/Dx. Como en nuestro caso m=2p y estamos considerando siempre variaciones de x igual a 1 (la diferencia entre los radios de las circunferencias), entonces la variación de longitud Dy=2p. Y esto se cumplirá para cualquier radio que consideremos.

Un problema muy parecido a éste fue incluido por el matemático inglés William Whiston en el libro The elements of Euclid, una edición de la famosa obra publicada en 1702 para los estudiantes de Cambridge. Whiston fue, por cierto, el sucesor de Isaac Newton en la Cátedra Lucasiana de Matemáticas de la Universidad de Cambridge. 

NOTA: Esta entrada participa en la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas que alberga en esta ocasión Resistencia Numantina.

FUENTE:
Clifford A. Pickover, The Math Book. Sterling, 2009.