La conjetura de Kepler

El 9 de abril de 1585, una expedición formada por cinco navíos ingleses partió del puerto de Plymouth rumbo a Virginia, con el objetivo de establecer allí la primera colonia británica. El responsable de la expedición era Sir Walter Raleigh. Con él viajaba su ayudante, el matemático y astrónomo Thomas Harriot. En las cubiertas de los barcos, varias pirámides de balas de cañón estaban perfectamente colocadas.

¿A qué se debía esta curiosa disposición? Mientras preparaba la expedición, y acuciado por la falta de espacio, Raleigh preguntó a Harriot si conocía algún método sencillo para calcular cuántas balas de cañón se pueden apilar en la cubierta de un barco. La cuestión también era interesante para estimar el número de balas de cañón que almacenaban los buques enemigos en su cubierta. Harriot, quien luego sería el primero en usar los símbolos ">" y "<" (mayor que y menor que), no tuvo dificultad en responderle.

Retrato de Thomas Harriot de 1602 (fuente)

A raíz de la pregunta de Raleigh, Harriot empezó a estudiar distintas formas de empaquetar esferas, así como sus propiedades matemáticas. Años después, cuando mantuvo una correspondencia con su colega alemán Johannes Kepler, Harriot le transmitió su interés por este tipo de problemas. Así fue cómo Kepler se preguntó cuál sería la manera más eficaz de juntar esferas del mismo tamaño y surgió lo que hoy se conoce como conjetura de Kepler.

Uno de las ilustraciones de Kepler
donde propone su conjetura (fuente)

La hipótesis de Kepler

Si se tratase de cubos, el problema no tendría dificultad. Uno puede formar cualquier figura con cubos y juntarlos sin que quede ni el más mínimo resquicio entre ellos. En cambio, cuando se disponen esferas en el espacio siempre quedan huecos entre ellas, porque no encajan a la perfección. En otras palabras, lo que Kepler buscaba es, de todas las innumerables formas de colocar esferas, ¿cuál es la que deja el menor hueco posible?

Una opción es colocar una capa de esferas, tan juntas como sea posible, y a continuación poner otra capa idéntica de esferas justo encima. Esta forma de distribuirlas se conoce como una red cúbica simple. Para calcular lo buena que es esta distribución, se utiliza el concepto de densidad de empaquetamiento, que es la proporción del volumen rellenado por las esferas. En el caso de los cubos, la densidad de empaquetamiento sería de 100%, porque no hay huecos. En cambio, la red cúbica simple tiene una densidad de empaquetamiento de apenas 52%, lo que significa que los huecos ocupan casi tanto espacio como las esferas.

Estructura de una red cúbica simple

La red cúbica simple se puede mejorar partiendo de la misma capa inicial, y colocando la siguiente capa de manera que cada esfera se apoye en el hueco que forman las cuatro esferas de justo debajo. Esta disposición recibe el nombre de red cúbica centrada, y su densidad de empaquetamiento sube a 74% (exactamente es π/√18 ≈ 0,7404). Si colocas de esta manera varias capas, puedes llegar a construir una pirámide de esferas, como hizo Raileigh con las balas de cañón. O como hacen los fruteros con las naranjas, manzanas, etc.

Estructura de una red cúbica centrada

Por supuesto, hay otras muchas maneras de colocar esferas. Pero Kepler afirmó que ninguna de ellas podría superar la densidad de empaquetamiento de la red cúbica centrada: da igual cómo ordenes las naranjas que su densidad será, en el mejor de los casos, de 74%. Esto es lo que se conoce como la conjetura de Kepler, pues el científico alemán no pudo demostrarla matemáticamente.

El camino hacia la conjetura

Hubo que esperar más de dos siglos hasta que alguien diera el primer paso. Y éste fue, quién si no, el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss. En 1831, Gauss demostró que la conjetura de Kepler es cierta siempre que las esferas estén dispuestas en una red regular. Es decir, cuando las esferas se colocan siguiendo un patrón determinado, entonces no se puede mejorar la densidad de empaquetamiento de la red cúbica centrada. Así que nos podemos olvidar de las distribuciones regulares de esferas y centrarnos únicamente en las irregulares, ya que sólo éstas podrían invalidar la conjetura de Kepler.

Claro que, a pesar del avance de Gauss, el problema seguía siendo muy complicado, porque hay muchísimas más distribuciones de esferas irregulares que regulares. Puedes llenar varias veces una caja con naranjas colocándolas de cualquier manera, y seguro que la distribución resultante cada una de las veces será distinta. Y para poder demostrar la conjetura de Kepler habría que considerar cada una de las innumerables maneras de distribuir esferas. La dificultad era tal que apareció en la lista de los 23 grandes problemas matemáticos sin resolver que el matemático alemán David Hilbert elaboró a principios del siglo XX. (En concreto, formaba parte del problema nº 18.)

La tumba de Hilbert, con su epitafio:
"Debemos saber, llegaremos a saber" (fuente)

Pero en la segunda mitad del siglo XX, los matemáticos consiguieron avances significativos. En 1953, el matemático húngaro László Fejes Tóth introdujo una novedad importante al dividir el volumen que ocupaba una distribución de esferas en las llamadas celdas de Voronoi. Es decir, le asignó a cada esfera de la distribución una región del espacio formada por los puntos que están más cerca del centro de esa esfera que de ninguna otra. Por ejemplo, en el caso de la red cúbica centrada, la celda de Voronoi resultó ser un dodecaedro rómbico. 

Traducido a este lenguaje, la conjetura de Kepler consistía en demostrar que el volumen de un dodecaedro rómbico era menor que el volumen de la celda de Voronoi de cualquier otra distribución. Mejor aún, Tóth fue capaz de limitar el número de celdas de Voronoi que necesitaba considerar a sólo 13, reduciendo la conjetura de Kepler a un problema con un número finito de variables. Y aunque los cálculos era demasiado complejos y extensos, ya intuyó que los ordenadores tendrían un papel fundamental en la resolución del problema. (Por cierto, si quieres saber más sobre los diagramas de Voronoi te animo a que leas esta entrada y esta otra.)

Más tarde, el estadounidense Thomas Hales tomó el testigo de Fejes Toth y demostró que para calcular la densidad de empaquetamiento de cualquier distribución bastaba con tener en cuenta apenas 50 esferas. Así, Hales consiguió describir el volumen de una distribución mediante una descomunal función de 200 variables, con 2.000 condiciones de contorno. Cada una de estas variables debería ir cambiando de valor para representar las 5.000 configuraciones posibles que había que tener en cuenta.

Thomas Hales, ante el reto de Kepler

En 1992, Hales inició una investigación para desarrollar programas informáticos que encontrasen los límites inferiores de su función Esta ardua tarea implicaba solucionar cerca de 100,000 problemas de programación lineales. Después de seis años, Hales anunció que ninguna de las configuraciones de esferas analizadas mejoraba la densidad de empaquetamiento de la red cúbica centrada. Por tanto, la conjetura de Kepler era cierta.

Una demostración polémica

Pero la historia estaba todavía lejos de llegar a su final. La demostración de Thomas Hales ocupaba casi 300 páginas, además de tres gigabytes de código y datos. La prestigiosa revista Annals of Mathematics fue elegida por Hales para su publicación…pero primero tenía que darla por buena.

La revista se encontró ante una situación
inédita en su centenaria historia (fuente)

La revista seleccionó a doce científicos de reconocido prestigio, al frente de los cuales estaba Gabor Fejes Tóth, el hijo de László. Estos científicos consumieron la mayor parte de sus energías en la tarea de verificar si los programas informáticos de Hales daban los resultados esperados y no eran erróneos. Pero después de varios años de intenso trabajo, el comité de expertos se dio por vencido, reconociendo su incapacidad para verificar, en un tiempo razonable, todas y cada una de las partes de la demostración de Hales. Una tarea que se ha comparado con la de verificar, uno a uno, los datos del listín telefónico de Nueva York. En vez de eso, el comité se conformó con realizar las comprobaciones necesarias para afirmar que la demostración era, con un 99% de probabilidad, correcta. 

¿Era eso suficiente para considerar que la conjetura de Kepler se había demostrado? Después de mucho meditar, la dirección de la revista tomó una decisión salomónica y dividió la demostración en dos. En noviembre de 2005, la parte teórica de la conjetura se publicó en Annals of Mathematics, mientras que el programa informático apareció en otra revista, especializada en computación, Discrete and Computational Geometry. (Existe una leyenda urbana muy extendida según la cual Annals añadió un comentario editorial advirtiendo que la validez de la demostración dependía del programa informático. Pero no es cierto. Tal comentario nunca se publicó, como explica en el punto 2 de esta carta al director el matemático Francisco Santos.)

La demostración de la conjetura de Kepler dejó un sabor agridulce a muchos matemáticos. Basándose en el llamado método de fuerza bruta, Hales había probado muchos casos particulares usando la potencia de los ordenadores actuales. Pero detrás de este método no hay ningún proceso lógico siguiendo el cual lleguemos a la conclusión deseada, como se hace en cualquier demostración matemática tradicional. ¿Se puede considerar como tal un razonamiento que se basa en un cómputo enorme y difícil de comprobar? El propio Hales no debe estar totalmente satisfecho, pues ha iniciado el llamado Proyecto Flyspeck, con la intención de encontrar una demostración formal de la conjetura de Kepler.

Lo cierto es que el ordenador es una herramienta imprescindible hoy en día. Gracias a ella, los científicos simulan procesos tan complejos como la evolución de las estrellas, el comportamiento de un terremoto o la metástasis de un cáncer. Si los ordenadores pueden resolver cálculos rutinarios, liberando de este tedioso trabajo a los matemáticos, ¿por qué no se van a beneficiar ellos también?

El debate sigue abierto.

NOTA: Esta entrada participa en la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas que organiza en esta ocasión Gaussianos.

Bibliografía:

1. T. Hales, An overview of the Kepler Conjecture, arXiv:math/9811071v2, 20 de mayo de 2002.
2. P.J. Miana, N. Romero, La historia de la conjetura de Kepler, Servicio de Publicaciones, Universidad de La Rioja, 2010.
3. D. Martín, La conjetura de Kepler, ¿Cómo ves? nº 111, febrero 2008.