Carnaval de Matemáticas 6.2: Número Pi. 23-29 de marzo.

“Así es, pues la matemática: te recuerda la forma invisible del alma; da vida a sus propios descubrimientos; despierta la mente y purifica el intelecto; arroja luz sobre nuestras ideas intrínsecas y anula el olvido y la ignorancia que nos corresponden por nacimiento”.

Esta hermosa frase es de Proclo (410-485), uno de los últimos grandes filósofos clásicos griegos, que se ha ganado a pulso encabezar la presentación de la Edición 6.2: Número Pi del Carnaval de Matemáticas desde el momento en que la leí.

Busto de Proclo (fuente)

¿Y por qué esta edición está "dedicada" al número π? Primero, porque Tito Eliatron ha propuesto dedicar cada una de las ediciones de este sexto año a un concepto matemático. Y segundo, porque mientras Proclo vivía en una Grecia decadente, que ya había realizado sus principales logros en matemáticas, muy lejos de allí, en China, vivía un talentoso matemático y astrónomo llamado Zu Chongzhi (429-500). Su padre se había encargado de formarlo en estas dos ciencias, igual que había hecho su abuelo con su padre, y así sucesivamente durante varias generaciones. Él mismo continuaría con la tradición familiar y educaría a su hijo Zu Geng, quien también fue un destacado matemático.

Retrato de Zu Chongzhi (fuente)

Una de las principales aportaciones a las matemáticas de Zu Chongzhi está relacionada precisamente con el número que nos compete. Un número que ya fascinó a los griegos y que hoy es, sin duda, uno de los más populares: el número π (pi).

Como todos aprendemos en la escuela, el número π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es un número irracional, y como tal, no puede expresarse de la forma a/b, siendo a y b dos números enteros. Nos tenemos que conformar con truncar su valor numérico, cuyas primeras cifras son las siguientes:

π ≈ 3,14159265358979323846…

Los antiguos egipcios y mesopotámicos fueron los primeros en intentar calcular el valor de π, aunque hay que admitir que fueron aproximaciones bastante simples, dicho sea sin desmerecer sus intentos. Hubo que esperar al siglo III a.C., cuando el gran Arquímedes (287 a.C. – 212 a. C.) el científico más importante de la antigüedad, se acercó notablemente al valor de π, gracias a un método sencillo pero efectivo que él mismo ideó.

Ya entonces se sabía que el perímetro de una circunferencia de radio la unidad es precisamente π. Así que para calcular este perímetro construyó dos polígonos regulares, uno interior y otro exterior al círculo. Arquímedes aumentó el número de lados de ambos polígonos, de tal manera que las figuras se iban “pareciendo” cada vez más a una circunferencia: primero fueron pentágonos, luego hexágonos, y así sucesivamente. 

Método de Arquímedes para acotar el valor de pi (fuente)

De esta manera, consiguió construir dos polígonos de 96 lados. Como eran regulares, calcular su perímetro era relativamente sencillo. El polígono interior proporcionaba el límite inferior del perímetro del círculo, mientras que el polígono exterior establecía el límite superior. Con este método pudo calcular que:

3+ 10/71 < π < 3 + 1/7

Si expresamos el resultado en decimales, podemos apreciar mejor la precisión de la aproximación del genio de Siracusa:

3,140845 < π < 3,142858

Éstos fueron los mejores límites del valor de π durante más de 600 años, hasta que apareció en escena Zu Chongzhi.

Se dice que Zu Chongzhi empezó a calcular el valor de pi en el 464, cuando contaba con 35 años. No tuvo que partir de cero, puesto que numerosos compatriotas matemáticos antes que él habían hecho ya ciertos avances. Alrededor del año 263, Liu Hui (220-280), por ejemplo, calculó dicho valor con una precisión de cinco decimales (3,14159), por medio de un polígono regular de 192 lados. Hui publicó su resultado en un comentario al libro Nueve capítulos del arte matemático, un tratado de matemáticas que proporcionaba métodos para resolver problemas cotidianos de ingeniería, topografía, comercio o impuestos, a partir de 246 problemas prácticos. Este libro es seguramente el más influyente en la historia de las matemáticas chinas al recopilar todo el saber de su época, y jugó un papel similar al de los Elementos de Euclides en Grecia.

Método de aproximación de Liu Hui (fuente)

Con estos cimientos, y tras varios años de estudio, en el año 680 Zu Chongzhi estimó el valor de π en siete decimales, y comprendido entre 3.1415926, “valor por defecto” y 3.1415927, “valor por exceso”. También dio dos aproximaciones racionales de π, 22/7, “valor aproximado” y 355/113, “valor preciso”.

El resultado del matemático chino es extraordinario por doble motivo. No sólo consiguió mejorar el resultado de Arquímedes (algo de lo que pueden presumir muy pocos matemáticos), sino que lo hizo sin tener conocimiento de su trabajo. El valor preciso de π según Zu Chongzhi es una aproximación tan buena (355/113 ≈ 3,1415929...) que hace honor a su nombre, y no fue igualada hasta el siglo XV, casi un milenio después.

¿Cómo llegó Zu Chongzhi a esta aproximación? Por desgracia no lo sabemos. Es muy probable que los cálculos estuviesen incluidos en el libro Zhui shu (Método de interpolación), donde Zu Chongzhi también habría calculado correctamente el volumen de una esfera. Este libro fue incluido entre los Diez Clásicos Matemáticos de la dinastía Sui, que se usaban en la Academia Imperial. Pero por lo visto, el Zhui shu era demasiado complicado para los estudiantes y acabó siendo eliminado del programa. Esto explicaría que el libro no haya sobrevivido hasta nuestros días, por lo que los cálculos que llevaron a Zu Chongzhi a su valor preciso de π no son más que conjeturas.

Y con esta breve y caprichosa introducción al número π damos por inaugurada la Edición 6.2: Número Pi del Carnaval de Matemáticas.

Para el que no lo conozca, el Carnaval de Matemáticas es una iniciativa de Tito Eliatron para que, durante una semana al mes, los blogueros interesados escriban artículos divulgando las matemáticas. El formato del texto es libre; lo mismo se puede participar comentando una película, recordando una cita ingeniosa, subiendo una imagen o hablando de un libro. Cualquier cosa que tenga relación con las matemáticas. El único requisito es que aparezcan en la entrada los enlaces a la web del Carnaval de Matemáticas y al blog anfitrión, en este caso La Aventura de la Ciencia, indicando que participas en la Edición 6.2 del Carnaval de Matemáticas. Y si no tienes un blog, puedes registrarte en la web del Carnaval de las Matemáticas y publicar tu entrada allí.

Una vez publicada la entrada es conveniente que lo comuniques. Para ello tienes diversas maneras. Puedes mandar un tweet al twitter oficial del Carnaval de Matemáticas, @Carnamat, o al del propio Tito, @eliatron, con el hashtag #CarnaMat62, desde donde se retwitearán, en la medida de lo posible, todas las entradas participantes. También puedes dejar un comentario en esta misma entrada con un enlace a tu aportación. O incluso dejar una reseña de tu entrada en la web del Carnaval de Matemáticas. Si das a conocer tu aportación de esta última manera, se publicará automáticamente en el grupo de Facebook del Carnaval de Matemáticas. y se mandará un tuit desde la cuenta @CarnaMat con el enlace de tu aportación y el hashtag #CarnaMat62. Tres pájaros de un tiro.

En esta ocasión, el Carnaval de Matemáticas se celebrará en la semana del 23 al 29 de marzo. Luego recopilaré todas las entradas que hayan participado (cuantas más, mejor) y la semana siguiente publicaré un resumen con todas ellas. Y para finalizar, como viene siendo habitual en las últimas ediciones, los internautas tendrán la oportunidad de elegir la entrada que más les haya gustado de esta edición, dando su voto en los comentarios del resumen. (Por cierto, todavía estás a tiempo de hacerlo en la Edición 6.1: Números Perfectos que ha organizado Tito.)

Te animo a participar, que esta vez pienso pasar lista.

Y para ir abriendo boca, aquí os dejo con los resúmenes de las 51 ediciones anteriores. Casi nada.

• Primer Año
  • Primera Edición (15/02/2010) en Tito Eliatron Dixit
  • Segunda Edición (15/03/2010) en Juan Mairena [v.2.71828]
  • Tercera Edición (19/04/2010) en Geometría Dinámica
  • Cuarta Edición (17/05/2010) en Zurditorium
  • Quinta Edición (21/06/2010) en Ciencia por Barcedavid
  • Sexta Edición (27/09/2010) en Blog de Sangakoo
  • Séptima Edición (25/10/2010) en El Máquina de Turing
  • Octava Edición (21/11/2010) en Los Matemáticos no son Gente Seria
  • Novena Edición (20/12/2010) en Rescoldos en la Trébede
  • Décima Edición (31/01/2011) en La Ciencia de la Mula Francis
• Segundo año
  • Edición 2.1 (21/02/2011) en Tito Eliatron Dixit
  • Edición 2.2 (28/03/2011) en Gaussianos
  • Edición 2.3 (24/04/2011) en Los matemáticos no son gente seria
  • Edición 2.4 (26/05/2011) en Seis Palabras Claras
  • Edición 2.5 (02/07/2011) en Juegos Topológicos
  • Edición 2.6 (26/09/2011) en La Vaca Esférica
  • Edición 2.7 (15/10/2011) en La Aventura de la Ciencia
  • Edición 2.8 (29/11/2011) en Ciencia Conjunta
  • Edición 2.9 (26/12/2011) en Que no te aburran las M@tes
  • Edición 2.X (30/01/2012) en Resistencia Numantina
• Tercer año
  • Edición 3.1 (28/02/2012) en Scientia Potentia Est
  • Edición 3.14 (26/03/2012) en Hablando de Ciencia
  • Edición 3.141 (04/05/2012) en DesEquiLIBROS
  • Edición 3.1415 (29/05/2012) en Gaussianos
  • Edición 3.14159 (29/06/2012) en Scientia
  • Edición 3.141592 (01/10/2012) en ::ZTFNews
  • Edición 3.1415926 (29/10/2012) en Series Divergentes
  • Edición 3.14159265 (02/12/2012) en Pimedios
  • Edición 3.141592653 (27/12/2012) en Que no te aburran las M@tes
  • Edición 3.1415926535 (30/01/2013) en La Aventura de la Ciencia
• Cuarto año
  • Edición 4.1 (26/02/2013) en Tito Eliatron Dixit
  • Edición 4.12 (24/03/2013) en High Ability Dimension
  • Edicón 4.123 (01/05/2013) en Eulerianos
  • Edición 4.1231 (27/05/2013) en Matemáticas interactivas y Manipulativas
  • Edición 4.12310 (28/06/2013) en Geometría Dinámica
  • Edición 4.123105 (30/09/2013) en Cifras y Teclas
  • Edición 4.1231056 (02/11/2013) en Scientia
  • Edición 4.12310562 (29/11/2013) en ZTFNews.org
  • Edición 4.123105262 (02/01/2014) en Que no te aburran las M@TES
  • Edición 4.1231056216 (06/02/2014) en Cuentos Cuánticos
• Quinto Año
  • Edición 5.1 Rey Pastor (04/03/2014) en Tito Eliatron Dixit
  • Edición 5.2 Emmy Noether (31/03/2014) en Mates de David
  • Edición 5.3 Felix Klein (27/04/2014) en Juegos Topológicos
  • Edición 5.4 Martin Gardner (06/06/2014) en Gaussianos
  • Edición 5.5 Ronald Fisher (29/06/2014) en Pi medios
  • Edición 5.6 Paul Erdos (24/09/2014) en Cifras y Teclas
  • Edición 5.7 Alan Turing (30/10/2014) en El zombi de Schrödinger
  • Edición 5.8 Betty Scott (08/12/2014) en Tocamates
  • Edición 5.9 Enma Castelnuovo (29/12/2014) en Que no te aburran las M@TES
  • Edición 5.X Sofia Koalevskaya (28/01/2015) en ZTFNews.org
• Sexto año
  • Edición 6.1 Números Perfectos (02/03/2015) en Tito Eliatron Dixit.