El vaso de René Sluse

René Sluse, en un grabado de la época | Fuente

“Levi opera deducitur mensura vasculi, pondere non magni, quod interim helluo nulus ebibat.”

Esta frase en latín está extraída de una carta enviada por el matemático belga René Sluse a su colega holandés Christiaan Huygens en 1658. Su traducción podría ser la siguiente: “un vaso de beber que tuviera un pequeño peso, pero que ni siquiera el mayor bebedor del mundo pudiera vaciar”. Aquel año, ambos matemáticos habían estudiado métodos para determinar la superficie y el volumen de sólidos de revolución infinitamente extensos. ¿Pero qué quería decir exactamente Sluse con esa enigmática frase?

René François de Sluse nació en Visé, cerca de Lieja, en 1622. Estudió derecho en Lovaina entre 1638 y 1642, y en Roma, donde se licenció en la Universidad La Sapienza al año siguiente. Luego permaneció en la ciudad italiana para estudiar diversas lenguas (griego, hebreo y árabe, entre otras), así como matemáticas y astronomía. En 1650 fue nombrado canónigo de la catedral de Lieja y en 1666 llegó a ser abad de Amay. Su pasión por las matemáticas le llevó a mantener un rico intercambio epistolar con varios de los mejores matemáticos europeos de la época, como Blaise Pascal, John Wallis y Michelangelo Ricci, además del propio Huygens. En 1674 fue elegido miembro de la Royal Society de Londres.

En la actualidad, el nombre de Sluse es recordado principalmente por una familia de curvas que introdujo en su correspondencia con Huygens y Pascal entre 1657 y 1658. Las “perlas de Sluse”, como las bautizó Pascal, son las curvas dadas por la ecuación y^m=kxⁿ(a-x)^b, siendo a, b, m y n números enteros positivos. Curiosamente, estas curvas no tienen forma de perla en todo su dominio, solo en el eje de abcisas positivo (es decir, para x>0). 

Una perla de Sluse, con n=4, k=2, a=4, p=3 y m=2 | Fuente

También llevan su nombre las llamadas concoides de Sluse, otra familia de curvas que el matemático belga estudió en 1662. En coordenadas cartesianas, estas curvas satisfacen la ecuación (x-1)·(x²+y²)=ax². 

Las concoides de Sluse, para distintos valores de a | Fuente

El caso es que el 14 de marzo de 1658, De Sluse escribió a Huygens acerca del problema de integrar la curva conocida como cisoide de Diocles. El nombre “cisoide” procede del griego y significa “con forma de hiedra”. Fue el matemático griego Diocles (c. 240 a. C.-c. 180 a. C.) quien estudió esta curva que hoy lleva su nombre alrededor del año 180 a.C., mientras intentaba resolver el problema de la duplicación del cubo. Este célebre problema de la antigua Grecia consistía en construir, a partir de un cubo dado, otro que tuviera el doble de volumen. Es decir, si el volumen del cubo original es a, el problema equivale a construir un segmento de longitud x, tal que x³=2a. De acuerdo con tradición euclidiana, solo se permitía resolver el problema mediante el uso de regla y compás. El método empleado por Diocles no fue riguroso del todo; a partir de una cicloide, el geómetra griego fue capaz de encontrar una solución al problema de la duplicación del cubo, empleando solo regla y compás. Sin embargo, resulta imposible completar el paso previo, que es construir una cisoide, con esas dos herramientas únicamente.

La línea roja de la imagen es la cisoide de Diocles | Fuente

Hoy sabemos que la cisoide tiene como ecuación cartesiana y²=x³/(2a-x). La curva tiene un vértice en el origen de coordenadas y una asíntota vertical en x=a/2. Del vértice parten las dos ramas de la curva, que se aproximan a la asíntota cada una por su lado. Como curiosidad, la curva descrita por el vértice de una parábola mientras ésta rueda sin deslizar sobre una segunda parábola del mismo tamaño, es una cisoide.

Animación de una parábola rodando sobre otra | Fuente

Pero volvamos de nuevo al siglo XVII, donde habíamos dejado a Sluse y Huygens hablando de la cisoide. En concreto, ambos discutieron el problema de calcular el área y el volumen del sólido de revolución que resulta de hacer girar una cisoide alrededor del eje vertical x=0, considerando únicamente la parte superior de la curva (y>0). El resultado sería una especie de vasija infinitamente extensa. ¿Podría ser que, a pesar de eso, su superficie o su volumen fueran finitos? El estudio de este tipo de objetos matemáticos despertó la curiosidad de los matemáticos durante la primera mitad del siglo XVII. Es el caso de la llamada trompeta de Torricelli que ya vimos aquí en su momento.

La trompeta de Torricelli en 3D | Fuente

Sluse consiguió demostrar que el área de ese sólido es finito y, por lo tanto, puede construirse con una cantidad finita de material. Pero, al mismo tiempo, el vaso de Sluse puede contener un volumen infinito, pues sus paredes son infinitamente altas. Un vaso que, lleno de líquido, no podría vaciar ni el mayor bebedor del mundo: he aquí el significado de las palabras del matemático belga.

El vaso de Sluse, sombreado en gris gracias a WolframAlpha | Fuente

Obviamente, el vaso de René Sluse es un objeto matemático que no podemos trasladar a la realidad. Este es parte del encanto de las matemáticas, que nos hacen soñar. Lo cierto es que yo me acuerdo mucho del vaso de Sluse. En concreto, cada vez que saboreo el último trago de una jarra de cerveza bien fría. ¡Quién tuviera uno!

NOTA: Esta entrada participa en la Edición 7.2 del Carnaval de Matemáticas que alberga este blog, La Aventura de la Ciencia.

La trompeta de Torricelli

Estaba barajando varios temas para mi participación en la Edición 2.7 del Carnaval de Matemáticas. Como he visto que hay un par de entradas sobre paradojas, y dicen que no hay dos sin tres, ahí va la mía. Se trata de responder a la siguiente pregunta: ¿se puede pintar una superficie infinita con un bote de pintura?

En principio, la respuesta intuitiva es que no. Para pintar una superficie infinita se necesitaría un bote de pintura infinitamente grande. Pero en matemáticas no basta con la intuición, las cosas hay que demostrarlas. Vamos allá.

Consideremos la función f(x)=1/x, una curva muy familiar que seguro que has visto representada alguna vez. 

Nos vamos a centrar en el intervalo de x entre 1 e infinito y vamos a hacer girar esa curva alrededor del eje de abcisas, tal y como muestra la siguiente imagen. 

El resultado tendría aspecto de trompeta; una especie de vuvuzela infinitamente larga. ¿Que no lo acabas de ver claro? Seguro que esta imagen en 3-D te ayuda. 

¿Cuál es la superficie de este objeto? Cualquier estudiante de ciencias puede resolver la integral correspondiente y obtener que, así construido, este objeto tiene una superficie infinita. ¿Y su volumen? Si tiene una superficie infinita, debería tener un volumen infinito. Pero de nuevo, no basta con aplicar la intuición, hay que calcularlo. Y ahora viene lo bueno. Cuando uno realiza el cálculo, resulta que el volumen de este objeto ¡es p! Se trata, por tanto, de un objeto con una superficie infinita pero con un volumen finito.

Este objeto se conoce como la trompeta de Torricelli, y debe su nombre al físico y matemático italiano Evangelista Torricelli (1620-1675). Aunque en la actualidad se le recuerda por la invención del barómetro de mercurio y por ser el discípulo aventajado de Galileo, Torricelli fue un matemático de considerable talento. En 1641 descubrió este objeto matemático que le dejó perplejo: un sólido geométrico que es infinitamente largo, pero que tiene un volumen finito. (Recordemos que entonces no se había desarrollado todavía el cálculo como herramienta matemática, así que llegar a este resultado ya tiene su mérito.) Torricelli comunicó su descubrimiento a los geómetras franceses en cartas escritas en 1644. El resultado parecía tan contraintuitivo y sorprendente que al principio algunos de los matemáticos europeos más destacados pensaron que no era posible, como lo podría pensar cualquier profano en la materia. Las matemáticas siempre pueden sorprenderte, por muy experto que seas.

Volvamos ahora a la pregunta inicial. Si tiene una superficie infinita, nunca se podría pintar su cara interior con un bote de pintura. Sin embargo, al tener un volumen finito, se puede introducir una cierta cantidad de pintura con la que llenar el embudo de la trompeta de Torricelli. Y si se llena el embudo esto significa que has pintado la cara interior, que acabamos de decir que es infinita. Ahí está la paradoja.

¿Sorprendente, verdad? Pues realmente esta paradoja no es tal. Primero, porque esto no deja de ser un objeto matemático; no se puede construir en la realidad una trompeta infinitamente larga. Y segundo, aunque se llenase de pintura la trompeta, no se pintaría toda su superficie interna. Al hacerse infinitamente estrecha, llegaría un momento que las moléculas de la pintura no podrían avanzar. En otras palabras, el diámetro de la trompeta sería más pequeño que el diámetro de una molécula de pintura, por lo que no se cubriría el resto de la superficie de la trompeta. 

La trompeta de Torricelli también se conoce en ocasiones como el cuerno de Gabriel. Este nombre sugiere la imagen del Arcángel Gabriel haciendo sonar su cuerno para anunciar el día del Juicio Final, asociando así el infinito, los poderes de Dios, con lo finito, el mundo terrenal.