viernes, 21 de junio de 2013

El día en que pudo cambiar el valor de pi


¿Te imaginas por un momento que alguien se atreviera a cambiar el valor de pi, la relación matemática entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, bien conocida desde los antiguos griegos? No solo eso, ¿qué pensarías si además se quisiera sacar tajada de ello y legislarlo mediante una ley? Pues todo eso y mucho más ocurrió a finales del siglo XIX, cuando el estadounidense Edwin J. Goodwin (1825-1902) afirmó haber encontrado un método para realizar la famosa cuadratura del círculo.

El problema de la cuadratura del círculo era bien conocido desde la antigua Grecia. Se cree que fue Anaxágoras, aproximadamente en el año 600 A.C. quien planteó el problema de construir, con regla y compás, un cuadrado que tuviese el mismo área que un círculo dado. Pasaron más de dos mil años sin que nadie encontrara una solución, hasta que el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que, tal y como la habían planteado los antiguos griegos, la cuadratura del círculo era imposible

Ferdinand Lindemann

Sin entrar en detalles, podemos entender lo que ocurre. El área de un círculo es π·r2, donde r es el radio de dicho círculo. La del cuadrado es a2, siendo a el lado del cuadrado. Si queremos que ambas áreas sean iguales, entonces:


π·r2 = a2

Y despejando a, resulta que


a = r·√π

Resolver el problema algebraico es bastante sencillo. Pero si queremos resolverlo como lo plantearon los griegos tendríamos que poder dibujar π con regla y compás. ¿Y realmente podemos? Si π fuese racional (de la forma m/n, donde m y n son números enteros con b distinto de cero), no habría mayor inconveniente. Incluso si π fuese irracional (que no se pudiese escribir de la forma m/n) todavía habría esperanzas. Se pueden construir con regla y compás números irracionales. Si dibujas, por ejemplo, un triángulo rectángulo con los catetos de longitud 1, la hipotenusa medirá √2, que es irracional. Esto es posible porque √2 es solución de la ecuación x2-2=0. Todos los que se pueden expresar como solución de una ecuación algebraica pertenecen a una clase de números llamados algebraicos y se pueden dibujar mediante regla y compás. 

Si un número no es algebraico, entonces se dice que es trascendente, como el número e, y en tal caso nunca podrá ser dibujado con regla y compás. De esta forma, el milenario problema de la cuadratura del círculo se reduce a la simple cuestión de si el número π es algebraico o trascendente. Eso fue lo que demostró Lindemann en 1882: π era trascendente y, por tanto, no se puede dibujar con regla y compás, lo que acabó con las esperanzas de todos los matemáticos de conseguir resolver este problema.

¿He dicho todos? Bueno, no. Hubo un matemático llamado Edwin J. Goodwin que pasó por alto los avances de todos sus predecesores, culminado por Lindemann. En realidad, Goodwin no era más que un médico rural que vivía en el pueblo de Solitude, Indiana, y que en su tiempo libre -debía tener mucho- se aficionó a las matemáticas. Al parecer, Goodwin ya había logrado resolver otros famosos problemas matemáticos imposibles, como la trisección del ángulo y la duplicación del cubo. En todos estos casos, Goodwin había publicado la solución en la revista matemática The American Mathematical Monthly. Y en todos ellos, el artículo estaba encabezado por una nota diciendo que se publicaba a petición del autor. Dicho de otro modo, la revista no se hacía responsable del contenido del artículo. Sospechoso, ¿verdad?

Edwin J. Goodwin

En su demostración de la cuadratura del círculo no se menciona explícitamente a pi. Pero hacia el final de la segunda sección se dice que "la relación entre el diámetro y la longitud de una circunferencia es de cinco cuartos a cuatro". Como esa es exactamente la definición de pi, la afirmación de Goodwin significaba que ¡pi valía 3,2! De nada había servido que, más de dos mil años atrás, Arquímedes ya hubiese demostrado que el valor de pi estaba comprendido entre 3+(10/70) y 3+(10/71), una aproximación mucho más buena que el valor -erróneo- dado por Goodwin. El genio de Siracusa debió retorcerse en su tumba.

Esquema que utilizó Goodwin para su "demostración"

Pero eso no es todo. A pesar de este y otros disparates que contenía su demostración, Goodwin estaba tan satisfecho con su descubrimiento que lo registró, con la idea de que cualquiera que lo utilizara tuviera que pagarle derechos de autor. Al mismo tiempo decidió que su estado natal de Indiana sí podría usarlo para beneficio de sus escolares. De hecho, Goodwin embaucó al representante por Indiana, Taylor I. Record, y le propuso presentar en la Asamblea legislativa un proyecto de ley que recogiese lo anterior. El título lo dice todo: Proyecto de ley que presenta una nueva verdad matemática y que es ofrecido como una contribución a la educación que sólo podrá ser utilizado por el Estado de Indiana de forma gratuita sin necesidad de pagar ningún tipo de derechos de autor, siempre y cuando sea aceptado y adaptado en forma oficial por la legislatura en 1897. Ahí queda eso.

La cadena de despropósitos no había hecho más que empezar. Después de recibir el visto bueno de la Comisión de Educación, el proyecto de ley número 246 de las sesiones del año 1897 llegó al Congreso. El resultado de la votación no dejó lugar a dudas: 67 votos a favor, ninguno en contra. Ya solo faltaba la aprobación del Senado y el valor de pi quedaría establecido en Indiana como 3,2.

El mismo día que se debatía el proyecto de ley en el Senado, se encontraba en el edificio C. A. Waldo, un profesor de matemáticas de la Universidad de Purdue, que había acudido a la ciudad para gestionar el presupuesto anual de la Academia de Ciencia de Indiana. Waldo se quedó muy sorprendido al enterarse que en el Senado estaban debatiendo una ley sobre matemáticas. Pero su sorpresa se transformó en espanto cuando comprendió el disparate que estaba a punto de cometerse. Una vez terminada la sesión, le ofrecieron conocer en persona al mismísimo Goodwin, lo que Waldo rechazó enérgicamente (“ya me han presentado a tantos locos como estoy dispuesto a conocer”). Por suerte, el Senado de Indiana no había completado la aprobación final del proyecto de ley y el profesor Waldo tuvo tiempo de convencer a un número suficiente de senadores para que postergaran el proyecto de forma indefinida.


C.A.Waldo, el salvador de Indiana

Y así fue cómo el estado de Indiana se salvó de hacer el mayor de los ridículos y consiguió que lo que todavía hoy se conoce como Indiana Pi Bill, el proyecto de ley de Indiana sobre pi, se quedase en eso, un simple proyecto.

NOTA: Esta entrada participa en la Edición 4,12310 del Carnaval de Matemáticas que organiza en esta ocasión el blog de Rafael MirandaGeometría Dinámica.

BIBLIOGRAFÍA:
  1. Texto completo del Proyecto de Ley (en inglés).
  2. La demostración de la cuadratura del círculo, tal y como se publicó (en inglés).
  3. Errores, lapsus y gazapos de la historia, Gregorio Doval. Editorial Nowtilus, 2011.

13 comentarios:

  1. Si Arquímedes llega a probar la NO Cuadratura del Círculo nos habríamos perdido 22 siglos de avances matemáticos. Mejor así, no?

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    1. O habriamos llegado antes a esos avances no?

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  2. Muy interesante el post. Aparte de la aberración matemática, me pregunto qué sentido tendría convertir un teorema (incluso siendo cierto) en una ley... ¿habría que juzgar y condenar a quien no lo creyera o entendiera?
    Aparte de eso, un par de correcciones: la raíz de 2 es solución de la ecuación x^2-2=0 (no x^2-1=0), y no todos los números algebraicos son constructibles con regla y compás, aunque sí todos los constructibles son algebraicos.
    Un saludo,

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  3. Muchas gracias, ya he corregido lo de la ecuación (vaya cantada). Lo otro que comentas lo consultaré, yo tenía entendido que todos los números algebraicos se podían construir con regla y compás. De nuevo gracias por tu comentario.
    Saludos,

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  4. Muchas gracias por la información, muy buen artículo.
    Sólo realizar un apunte. La universidad que mencionas no es Perdue, es Purdue.
    Saludos,

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  5. Tienes toda la razón, ¿en qué estaría pensando? Corregido y muchas gracias.

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  6. bueno, est'a bien leer el art'iculo un d'ia m'as tarde, ya est'a todo corregido ;-).
    Por cierto, me ha gustado mucho el art'iculo

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  7. "Incluso si π fuese irracional (que no se pudiese escribir de la forma m/n) todavía habría esperanzas. Se pueden construir con regla y compás números irracionales."

    Que yo sepa Pi es irracional, ya que, siendo un número real, o es racional (que no) o es irracional. El hecho de que se puedan construir con regla y compás algunos números irracionales no significa que se pueda hacer con todos, ni mucho menos. Cagada

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  8. A ver si nos entendemos. Claro que pi es irracional, lo que quería decir es que también los números irracionales se pueden dibujar con regla y compás, dependiendo de si son algebraicos o trascendentes. Como Lindemann demostró que pi era trascendente, eso implica que no se puede dibujar con regla y compás.
    Por cierto, te ha sobrado la última palabra.

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  9. Para Daniel, el siguiente teorema, aclara la cuestión planteada:
    La condición necesaria y suficiente para que un problema geométrico sea soluble con la regla y el compás, es que la incógnita pueda expresarse en función de los datos, por medio de una expresión racional o irracional cuadrática.
    Como paradigma famoso está el problema de Delos de la duplicación del cubo que conduce a resolver por radicales cuadráticos una ecuación de tercer grado, lo que implica la imposibilidad de solución por regla y compás. Por lo tanto: resoluble por regla y compás (cuadrático) es algebraico, pero NO TODO algebraico es resoluble con regla y compás (ya que puede no ser cuadrático, como el problema de los griegos). Hay muchos problemas, además del comentado, que se reducen a ecuaciones algebraicas de grado superior a dos que son imposibles de resolver sólo trazando puntos, rectas y circunferencias un número finito de veces.

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  11. Ciertamente lo que dice Manuel, por ejemplo., raíz cubica de dos es número irracional algebraico y no se puede construir con regla y compás

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