Loxodrómica, la curva de los navegantes

Imagínate que eres el capitán de un barco y que acabas de zarpar hacia tu destino. Has decidido prescindir de cualquier forma de orientación moderna,  y te haces a la mar con la única ayuda de una brújula y un mapa para orientarte. A la antigua usanza. En esta situación, ¿qué trayectoria seguirías para llegar a buen puerto?

La respuesta, en principio, parece evidente: trazar el camino más corto entre el origen y el destino, que en este caso sería el arco de una circunferencia dibujada desde el centro de la Tierra sobre la superficie terrestre. Esto es lo que se conoce como círculo máximo. Pero, aunque la ruta más corta suele ser también la más rápida, este método presenta un problema en la práctica. Si quisieras seguir este camino con una brújula tendrías que estar continuamente ajustando la dirección del barco en función de la lectura de la brújula, una tarea que dificulta enormemente la navegación.

Existe, sin embargo, otra posibilidad. Se puede seguir una trayectoria tal que el barco siempre se dirija en la misma dirección de la brújula, es decir, que siga el mismo rumbo. La distancia a recorrer así hasta el destino es más larga, pero en cambio la navegación es más sencilla. La trayectoria que describe un barco de esta manera es lo que se conoce como loxodrómica, una palabra que viene del griego loxos, que quiere decir inclinado y drome, que significa rumbo. Una loxodrómica es una curva que corta todos los meridianos terrestres –las líneas imaginarias que recorren la superficie de la Tierra de un polo a otro- con el mismo ángulo. De acuerdo con esta definición, un caso especial de loxodrómica serían los paralelos terrestres, las líneas de latitud constante. Un paralelo cruza perpendicularmente los meridianos de la Tierra; se trata, por tanto, de una loxodrómica de 90º. Cualquier otra loxodrómica sigue una curva que se enrolla como una enorme serpiente a lo largo de la superficie terrestre y que traza espirales alrededor de los polos sin llegar a alcanzarlos nunca.

Ejemplo de una loxodrómica
sobre la superficie terrestre 

Si la Tierra fuese plana, los meridianos serían paralelos unos a otros y entonces una loxodrómica no sería más que una línea recta, por lo que coincidiría con el camino más corto entre dos puntos. Pero como bien sabes, la Tierra es una esfera (vale, un poco achatada por los polos) y los meridianos no son paralelos. Cuanto más cerca del polo se encuentra uno, más juntos están los meridianos, de manera que la trayectoria de la loxodrómica tiene que inclinarse cada vez más para cortarlos siempre con el mismo ángulo. Entonces, la diferencia entre un círculo máximo y una loxodrómica se hace más apreciable.

Un poco de historia

La historia de la loxodrómica empieza cuando los marineros asumieron que la Tierra no era plana y que había que tener en cuenta su curvatura. Hasta entonces se creía que, si se navegaba sobre la superficie terrestre manteniendo una dirección fija con la brújula, la trayectoria recorrida era un círculo máximo. Dicho de otra manera, si la Tierra entera fuese un enorme océano, un navío que siguiese un rumbo fijo llegaría a dar la vuelta al mundo, volviendo al punto de partida.

El primero en comprender lo que ocurría realmente fue el matemático, astrónomo y geógrafo Pedro Nunes, seguramente el científico portugués más importante del siglo XVI. Según cuenta el propio Nunes, fue una conversación con el almirante Martin Afonso de Sousa la que le puso sobre la pista. A su regreso de un viaje a Brasil entre 1530 y 1532, Sousa se quejó amargamente de que en el trayecto de vuelta, a pesar de mantener un determinado rumbo fijo, había descubierto asombrado que su barco se acercaba al ecuador, contrariamente a sus cálculos. Sousa no entendía lo que pasaba y consultó a Nunes, que había sido nombrado Cosmólogo Real en 1529 y era la máxima autoridad de la corte portuguesa en cuestiones científicas.

Después de escuchar la narración de Sousa, Nunes reflexionó sobre el asunto y entendió que no era lo mismo navegar en línea recta –es decir, manteniendo el timón en la misma posición, suponiendo que el viento y las mareas son constantes- que navegar con rumbo fijo –esto es, con la brújula señalando siempre la misma dirección geográfica-. Nunes identificó las trayectorias de línea recta con los círculos máximos y demostró que, al seguir un rumbo fijo, jamás se podría volver al punto de partida, sino que la trayectoria descrita se iría acercando a uno de los polos, alrededor del cual daría infinitas vueltas sin llegar nunca a él.

Pedro Nunes (1502-1577), el
fundador de la navegación científica.

Nunes publicó sus conclusiones en 1537 en dos volúmenes, “Tratado sobre navegación marítima” y “Tratado sobre algunas dudas de la época sobre navegación marítima”, a la que seguiría en 1566 una extensión de sus ideas, "Petri Nonii Salaciensis Opera". Ahí fue cuando Nunes utilizó por primera vez la palabra “rumbo”. Curiosamente, el científico portugués nunca llegó a utilizar el término loxodrómica; Nunes se refirió a los caminos de rumbo fijo como “un cierto tipo de curva” o “una línea irregular y curva”. El nombre de loxodrómica sería acuñado en 1624 por Willebrord Snell, el físico y matemático holandés que había formulado unos años antes la famosa ley de refracción de la luz. Snell utilizó una latinización de la palabra holandesa kromstrijk -dirección curva-, usada por otro científico holandés, Simon Stevin, en su descripción del trabajo de Nunes.

Una fiel compañera

Desde entonces, la loxodrómica ha sido elegida como la trayectoria habitual de barcos y, más tarde, aviones. Cuando las distancias eran enormes y seguir el círculo máximo suponía un ahorro significativo, se utilizaba un camino alternativo. Se dividía la ruta del círculo máximo en diversos tramos, seleccionando una serie de puntos intermedios, y se aproximaba cada uno de estos pequeños segmentos por su correspondiente loxodrómica. De esta manera se lograba acortar la trayectoria, asemejándola a un círculo máximo, sin complicar demasiado la navegación.

La loxodrómica también ha encontrado aplicaciones más sorprendentes fuera del ámbito de la navegación. Los musulmanes deben dirigir sus rezos en la dirección que apunta hacia la Kaaba, el lugar sagrado del Islam que se encuentra en La Meca. Esta dirección se conoce con el nombre de alquibla. Determinar la dirección de la alquibla desde cualquier parte del mundo ha sido un tema tratado por los científicos árabes más importantes de la historia, como Al-Khwarizmi (780-850), el padre del álgebra. Aunque hoy en día los puristas lo consideran una práctica errónea, algunos colectivos musulmanes de Norteamérica utilizan una loxodrómica como alquibla para rezar en dirección a la Meca, en vez de hacer uso de la trayectoria tradicional, más corta (en este caso no hay que preocuparse por las complicaciones causadas por los cambios de rumbo).

En verde, la alquibla, el camino más corto a la Kaaba.
(Autor: RokerHRO, 2009)

En los últimos años del siglo XX se han desarrollado modernas técnicas de posicionamiento global, como el GPS, que permite establecer la localización de un objeto con una precisión de unos pocos metros, gracias a una red de satélites que orbitan la Tierra a más de 20.000 km de altura. Esto, combinado con los avances de los sistemas de control por ordenador, ha revolucionado la navegación marítima y aérea. Hoy en día no supone ningún problema seguir una trayectoria de círculo máximo. Pero cualquier piloto que se precie debe saber todavía lo que es una loxodrómica.

NOTA: Esta entrada participa en la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es en esta ocasión Gaussianos.

La carambola de la Luna

Los modernos telescopios resultan vitales para explorar el Universo. Son capaces de rastrear galaxias lejanas en busca de planetas o de detectar restos de la Gran Explosión que dio origen al Universo, hace miles de millones de años. Nada parece escaparse de su alcance. ¿Nada? Bueno, sí. Muy cerca de la Tierra hay un lugar que ni siquiera el más potente de nuestros telescopios puede ver. Se trata de la cara oculta de la Luna.

La cara oculta de la Luna

En efecto, una de las dos caras de la Luna siempre permanece invisible para nosotros, sin mirar a la Tierra. Esto es una consecuencia de la atracción gravitatoria terrestre que, después de millones de años, ha conseguido ajustar la velocidad de rotación de la Luna al movimiento de la Tierra: el tiempo que tarda la Luna en dar una vuelta completa a nuestro planeta es el mismo que emplea para rotar sobre su propio eje. Puedes coger dos naranjas, como si fuesen nuestro planeta y su satélite, y comprobar  que esto hace que desde la Tierra sólo veamos una de las dos caras de la Luna.

Ahora bien, ¿siempre ha sido esa misma cara? La pregunta puede parecer sorprendente, pero más lo es la respuesta que han dado los científicos franceses Mark Wieczorek y Matthieu Le Feuvrem. Según su estudio¹ publicado a principios de 2009, el impacto de un asteroide podría haber reorientado la Luna, hasta llegar a la posición que ahora vemos desde la Tierra. En tal caso, la actual cara visible de la Luna fue una vez la cara oculta, y viceversa.

Huellas de un pasado violento
La superficie lunar está plagada de cráteres, cuyo diámetro puede variar desde apenas un metro hasta más de 2.000 kilómetros. Algunos de los más grandes que se encuentran en la cara visible se pueden ver a simple vista, sin la necesidad de un telescopio. Al principio, los científicos pensaron que el origen de estos cráteres era volcánico. Pero después de analizar las muestras de rocas lunares que trajeron las misiones Apolo, se descartó esta idea: los cráteres de la Luna se formaron como consecuencia del impacto de meteoritos. 

El choque de un meteorito contra la superficie lunar causa una explosión que excava una cuenca llamada cráter de impacto. El material expulsado por el choque se acumula fuera del cráter y forma un anillo a su alrededor. También sale disparado una gran cantidad de polvo fino que se derrama a grandes distancias, dejando unas brillantes líneas llamadas rayos.

Debido a la ausencia de viento y agua, la erosión en la superficie lunar es prácticamente inexistente. Esto provoca que cráteres muy pequeños se conserven bastante bien después de miles de millones de años. ¡Hasta las pisadas de Neil Armstrong y compañía permanecerán ahí durante siglos! Pero con los rayos, al ser excepcionalmente finos, no ocurre lo mismo. Poco a poco, la llegada de partículas procedentes del espacio basta para removerlos y esparcirlos hasta que, al cabo de millones de años, desaparecen por completo. Los rayos se han convertido en una herramienta científica muy útil para estimar la edad de los cráteres: los más jóvenes lucen todavía unos hermosos rayos, mientras que los de los cráteres más antiguos se han borrado totalmente.

El joven cráter Proclus, de unos 5 millones de años, haciendo gala de sus rayos .

El cráter no es la única consecuencia del choque de un meteorito contra la Luna. A causa del impacto, la propia Luna oscila ligeramente. En la mayoría de los casos, las oscilaciones son pequeñas y se amortiguan con el paso del tiempo, hasta que finalmente desaparecen. Pero si el objeto tiene un tamaño considerable, se mueve a gran velocidad y el impacto se produce en el lugar apropiado, las consecuencias serían dramáticas. La Luna saldría de su equilibrio y empezaría a cabecear de un lado para otro, como un péndulo, de forma que ambas caras pudiesen ser vistas desde la Tierra. Tendrían que pasar varios miles de años para que la fuerza gravitatoria terrestre reestableciera la rotación sincronizada de la Luna. Y entonces, como una moneda que se hace girar de canto, sería una cuestión de suerte que fuese la misma cara o la opuesta la que apuntase ahora a la Tierra. De acuerdo con las leyes de la física, ambas opciones tendrían la misma probabilidad de ocurrir. 

Atrapando la antimateria

Hace más de ochenta años, el físico inglés Paul Dirac predijo la existencia de algo que parecía más propio de la ciencia-ficción: la antimateria, es decir, partículas con las mismas propiedades que la materia que nos rodea, pero con carga eléctrica opuesta. Aunque su nombre sigue estimulando nuestra imaginación, la antimateria no tiene nada de fantástico. Los físicos conviven a diario con ella en los aceleradores de partículas, donde crear antimateria –y destruirla- se ha convertido en algo rutinario.

Pero hay que admitir que la antimateria es muy esquiva. En los experimentos, los científicos apenas consiguen ver trazas de antimateria durante una breve fracción de segundo antes de que desaparezca. Encontrar un método para “atrapar” antimateria y almacenarla está actualmente en el punto de mira de muchos grupos de investigación del mundo. Sería el primer paso hacia un objetivo más ambicioso: conocer su comportamiento y descubrir si existe alguna diferencia con la materia ordinaria.

La ecuación de Dirac

En la década de 1920, los físicos no conseguían describir con exactitud el comportamiento de los electrones en el interior del átomo. El problema era que las ecuaciones de la mecánica cuántica, que se encargaba de los fenómenos a escala subatómica, se basaban en la vieja mecánica de Newton. Ésta era muy útil para sistemas en los que las velocidades son mucho más pequeñas que la de la luz, como ocurre en nuestra vida cotidiana. Pero no servía en el caso de las partículas subatómicas, como el electrón, que viajaban a grandes velocidades. Entonces había que acudir a la teoría especial de la relatividad de Einstein, que explicaba lo que sucedía cuando los cuerpos se movían a velocidades cercanas a las de la luz.

Al comprender la existencia de la
antimateria, Dirac dijo de su ecuación
que era "más lista que él".

En 1928, Paul Dirac logró combinar la relatividad y la cuántica, obteniendo una ecuación que describía con precisión el electrón. Pero había algo más: la ecuación de Dirac predecía¹ también la existencia de una partícula con las mismas propiedades que el electrón, pero con carga positiva. En 1932, el científico estadounidense Carl Anderson comprobó la existencia de la antipartícula del electrón, el llamado positrón, en los rayos cósmicos –radiación y partículas que provienen de lo más profundo del Universo. Y de la misma manera que existía una antipartícula para el electrón, debería existir también para el resto de partículas conocidas. Esas antipartículas podrían formar lo que se llamaría antimateria, igual que las partículas ordinarias componen la materia que nos rodea.

El origen de la antimateria

Para entender de dónde surgió la antimateria, debemos retroceder 13.700 millones de años, cuando toda la energía del Universo estaba concentrada en un único punto minúsculo. Entonces se produjo lo que hoy se llama Big Bang (o Gran Explosión), una catastrófica explosión que inició la expansión del Universo. A medida que crecía, el Universo se fue enfriando y parte de esa energía comenzó a transformarse en materia y antimateria.

Cuando una partícula se encuentra con su antipartícula, ambas se aniquilan y se transforman en energía. Si la Gran Explosión hubiera sido absolutamente simétrica, se habrían generado el mismo número de partículas y antipartículas, que luego se habrían destruido formando más energía, y así hasta acabar con toda la materia y antimateria. Lo repito, para que quede claro: toda la materia y antimateria del Universo se debería haber destruido mutuamente. Si estás leyendo estas líneas significa que eso no ocurrió así. Por algún motivo que se desconoce, el equilibrio entre materia y antimateria se decantó a favor de la materia. Se calcula que por cada mil millones de antipartículas se formaron mil millones más una partículas. Así que por cada mil millones de pares partícula-antipartícula que se aniquilaron, quedó una solitaria partícula sin pareja de baile. Puede parecer insignificante, pero ahí empezó el mundo tal y como lo conocemos hoy: estas partículas fueron las que luego se unieron para formar los primeros átomos, estrellas y galaxias.

Un átomo de hidrógeno y su  correspondiente 
antiátomo, en el que se cambian las
 partículas por antipartículas.

Los científicos sospechan que la causa de este desequilibrio entre materia y antimateria es que ambas se comportan de distinta manera. Es decir, las leyes físicas para una y para otra no son exactamente las mismas. Una forma de comprobarlo sería considerar el átomo más sencillo y abundante del Universo, que es el hidrógeno -un electrón, de carga negativa, dando vueltas alrededor de un protón, de carga positiva-, estudiar el comportamiento de su antiátomo correspondiente, que es el antihidrógeno, y comparar ambos.

Trampas para antimateria

En los últimos quince años los científicos^2,3 han perfeccionado las técnicas para crear átomos de antihidrógeno. Básicamente, lo que hacen es producir por separado positrones –los emiten de forma natural diversas sustancias radiactivas- y antiprotones -se generan en los aceleradores de partículas-, y luego los enfrian mediante diversas técnicas. Al enfriarlos, las antipartículas se frenan, y entonces pueden mezclarse en las llamadas trampas de Penning. Estas trampas son recipientes donde se crean campos electromagnéticos en su interior que impiden que las antipartículas entren en contacto con la materia ordinaria y se destruyan. Antes de usarse se extrae por bombeo todo el aire del núcleo de la trampa para que no quede ni un solo átomo de aire. Estas trampas son tan efectivas que pueden almacenar millones de antipartículas durante meses.

Una trampa de Penning
(Cortesía de GSI Helmhotzzentrum
für Schwerionenforschung GmbH)

El almacenamiento del antihidrógeno, sin embargo, es otra historia. Cuando un positrón y un antiprotón se combinan para formar un átomo de antihidrógeno, la carga de uno compensa a la del otro y, como ocurre con el átomo de hidrógeno cotidiano, su carga eléctrica total es cero. Al ser eléctricamente neutro, el preciado átomo de antihidrógeno ya no se ve afectado por el campo del interior de la botella y se escapa a toda velocidad de la trampa, perdiéndose para siempre.

¿Cómo se puede remediar esta situación? Aunque el átomo de antihidrógeno no tiene carga eléctrica neta, sí es sensible a un campo magnético puro. Esto se debe a una propiedad de las partículas subatómicas que se llama espín. Aprovechándose de esto, los científicos han diseñado un complejo campo magnético en el interior de la trampa para capturar los átomos de antihidrógeno que intentan escapar. 

En definitiva, primero se producen las antipartículas. Luego se enfrían y se frenan. A continuación se atrapan mediante un campo electromagnético y se les "invita" a que formen átomos de antihidrógeno. Ya por último, los átomos de antihidrógeno que se han creado, y que el campo electromagnético no puede retener, son atrapados por un campo magnético, mientras el resto de antipartículas escapan de la trampa.

¡Atrapados!

Todo esto puede parecer muy complicado…y ciertamente lo es. Hasta hace pocos meses no se había logrado capturar un solo átomo de antihidrógeno. Finalmente, el 18 de noviembre de 2010 los científicos⁴ del proyecto ALPHA del CERN anunciaron que habían conseguido atrapar por primera vez 38 átomos de antihidrógeno durante apenas dos décimas de segundo. Y para ello tuvieron que generar 10 millones de antiprotones y 700 millones de positrones. Fue un logro histórico, calificado por la revista Physics World como el avance más importante del 2010.

Un metamaterial de récord

Investigadores del Instituto Avanzado de Ciencia y Tecnología en Corea han publicado¹ esta semana su última creación: un nuevo metamaterial con el índice de refracción más grande jamás conseguido. Los científicos coreanos han elevado el récord hasta un increíble 38,6. El metamaterial en cuestión es un polímero con inserciones de aluminio y sus creadores piensan que podría tener importantes aplicaciones en el diagnóstico de cáncer o en controles de seguridad.

¿Se ha doblado el lápiz al meterlo en el agua? Noooo, 

son los rayos de luz los que se desvían al pasar del 

agua al aire —se refractan— y nos hacen creer que el 

lápiz está torcido (dominio público).

El índice de refracción se utiliza para describir cómo se desvía la luz al atravesar un material y se define como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en ese material. Ya que la luz en el vacío alcanza la velocidad más alta que se puede conseguir en la naturaleza, el índice de refracción de cualquier material siempre es mayor que uno (en el caso del vacío, por la propia definición, es igual a uno).  La mayoría de sustancias se mueven en unos valores comprendidos entre uno y tres –el agua, por ejemplo, tiene 1,33 y el diamante 2,42-, con algunas excepciones, como el silicio, que casi llega a cuatro (3,96).

Si estos son los valores habituales de los índices de refracción, ¿cómo se ha podido alcanzar ese número tan enorme? La respuesta está en los metamateriales.

Más allá de los materiales

Los llamados metamateriales no se encuentran en la naturaleza. Son materiales creadas en el laboratorio, de forma artificial, a partir de elementos naturales, como oro, cobre, silicio o aluminio. El gran secreto de los metamateriales es que los científicos disponen estos elementos de manera minuciosa a escalas minúsculas, cientos de veces más pequeñas que el grosor de un pelo. De esta manera pueden manipular la luz en el interior de un metamaterial y conseguir que se comporte de forma distinta a como lo haría espontáneamente. La estructura del metamaterial, más que su composición, es la que determina sus propiedades ópticas.

Un ejemplo de metamaterial hecho a base de fibra
de vidrio con celdas de cobre de 5 mm de lado
(domino público).

En este caso, los investigadores coreanos han dispuesto celdas cuadradas de aluminio de algo menos de 60 µm de lado (un micrómetro es la millonésima parte del metro) formando un entramado cuadrado con una mínima separación entre una celda y su vecina. También han trabajado con oro en vez de aluminio, han modificado las dimensiones de las celdas y han superpuesto varias capas con esta disposición. En todos los casos han conseguido índices de refracción inusualmente altos, pero sin batir el récord de la configuración original.

Las extraordinarias propiedades del metamaterial no se manifiestan para cualquier tipo de luz, sino únicamente para la llamada radiación de terahertz, un tipo de ondas electromagnéticas que nuestros ojos no ven. En la naturaleza hay otros muchos tipos, como los rayos gamma, los rayos X, la radiación ultravioleta y las ondas de radio. La luz visible también es otra de ellas. Todas viajan a la velocidad de la luz, pero tienen propiedades físicas distintas. En particular, la radiación de terahertz presenta algunas características que la hacen muy interesante: atraviesa ropa, papel y plásticos, pero no metal y agua.

Aplicaciones potenciales

Una de las posibles aplicaciones de la radiación de terahertz serviría para detectar cáncer de piel que no sea visible al ojo humano. Como el tejido canceroso tiende a tener un contenido acuoso más alto que el tejido sano, la radiación de terahertz podría usarse para distinguir entre ambos. Sería una alternativa eficaz y no invasiva a las técnicas tradicionales de detección de este tipo de tumores.

La radiación de terahertz también podría utilizarse en los controles de seguridad para descubrir armas metálicas, evitando muchas de las falsas alarmas de los detectores actuales. Incluso podría determinar la composición química de compuestos, fundamental para detectar, por ejemplo, sustancias explosivas o drogas. Además, las últimas técnicas de seguridad desarrolladas hasta ahora, que usan rayos X para los escáneres corporales, tienen el inconveniente de que este tipo de radiación conlleva un riesgo para la salud. En cambio, la radiación de terahertz podría usarse sin peligro.

Los investigadores coreanos confían en que su flamante metamaterial ayude a hacer realidad alguna de las potenciales aplicaciones de la radiación de terahertz. El récord, eso sí, ya lo tienen en el bote.

NOTA: Esta entrada participa en la XVI Edición del Carnaval de la Física, cuyo anfitrión es tecnoloxia.org.

Referencias:

1. Muhan Choi, Seung Hoon Lee, Yushin Kim, Seung Beom Kang, Jonghwa Shin, Min Hwan Kwak, Kwang-Young Kang, Yong-Hee Lee, Namkyoo Park & Bumki Min, A terahertz metamaterial with unnaturally high refractive index. Nature 470, p. 369–373.

Física, matemáticas y viceversa

Hay una anécdota que me fascina desde que la leí hace ya algunos años. Se juntan varios factores: en primer lugar, por el escenario en que se desarrolla –un congreso de física que hizo historia-; luego, por los personajes “implicados”, como diría un amigo mío –dos científicos extraordinarios cuyos nombres me reservo de momento por aquello de la intriga-; y, finalmente, por la propia anécdota, un breve pero intenso intercambio de opiniones sobre física y matemáticas que no tiene desperdicio. Veamos lo que se cocinó con estos ingredientes.

Vamos a empezar por situarnos en Bruselas, 1911. Allí tuvo lugar, entre el 30 de octubre y el 3 de noviembre, el primer Congreso Solvay, una reunión de científicos de todo el mundo costeada por Ernest Solvay, un químico industrial belga que había hecho fortuna al desarrollar un método para fabricar el bicarbonato sódico. El objetivo del Congreso era analizar la situación de la física, que por aquel entonces vivía un periodo convulso. Diversos experimentos demostraban que la teoría que se había utilizado hasta entonces para explicar el comportamiento de la materia –lo que hoy conocemos como teoría clásica-, no valía cuando se penetraba en el interior de las cosas. Esta contradicción se resolvía admitiendo que el mundo subatómico funcionaba de una manera completamente distinta a lo que dictaba el sentido común. Esas extrañas reglas formaban la llamada teoría cuántica.

Fotografía del Congreso en el Hotel Metropole. Sentados, de izquierda a derecha: W. Nernst, M. Brillouin, E. Solvay (mecenas), H. Lorentz, E. Warburg, J. Perrin, W. Wien, M. Curie y H. Poincaré. De pie, de izquierda a derecha: R. Goldschmidt, M. Planck, H. Rubens,A. Sommerfeld, F. Lindemann (secretario), M. de Broglie (secretario), M. Knudsen, F. Hasenöhrl, G. Hostelet, E. Herzen, J.H. Jeans, E. Rutherford, H. Kamerlingh Onnes, A. Einstein y P. Langevin. (Dominio público)