domingo, 23 de octubre de 2011

La trompeta de Torricelli

Estaba barajando varios temas para mi participación en la Edición 2.7 del Carnaval de Matemáticas. Como he visto que hay un par de entradas sobre paradojas, y dicen que no hay dos sin tres, ahí va la mía. Se trata de responder a la siguiente pregunta: ¿se puede pintar una superficie infinita con un bote de pintura?

En principio, la respuesta intuitiva es que no. Para pintar una superficie infinita se necesitaría un bote de pintura infinitamente grande. Pero en matemáticas no basta con la intuición, las cosas hay que demostrarlas. Vamos allá.

Consideremos la función f(x)=1/x, una curva muy familiar que seguro que has visto representada alguna vez. 


Nos vamos a centrar en el intervalo de x entre 1 e infinito y vamos a hacer girar esa curva alrededor del eje de abcisas, tal y como muestra la siguiente imagen. 




El resultado tendría aspecto de trompeta; una especie de vuvuzela infinitamente larga. ¿Que no lo acabas de ver claro? Seguro que esta imagen en 3-D te ayuda. 




¿Cuál es la superficie de este objeto? Cualquier estudiante de ciencias puede resolver la integral correspondiente y obtener que, así construido, este objeto tiene una superficie infinita. ¿Y su volumen? Si tiene una superficie infinita, debería tener un volumen infinito. Pero de nuevo, no basta con aplicar la intuición, hay que calcularlo. Y ahora viene lo bueno. Cuando uno realiza el cálculo, resulta que el volumen de este objeto ¡es p! Se trata, por tanto, de un objeto con una superficie infinita pero con un volumen finito.

Este objeto se conoce como la trompeta de Torricelli, y debe su nombre al físico y matemático italiano Evangelista Torricelli (1620-1675). Aunque en la actualidad se le recuerda por la invención del barómetro de mercurio y por ser el discípulo aventajado de Galileo, Torricelli fue un matemático de considerable talento. En 1641 descubrió este objeto matemático que le dejó perplejo: un sólido geométrico que es infinitamente largo, pero que tiene un volumen finito. (Recordemos que entonces no se había desarrollado todavía el cálculo como herramienta matemática, así que llegar a este resultado ya tiene su mérito.) Torricelli comunicó su descubrimiento a los geómetras franceses en cartas escritas en 1644. El resultado parecía tan contraintuitivo y sorprendente que al principio algunos de los matemáticos europeos más destacados pensaron que no era posible, como lo podría pensar cualquier profano en la materia. Las matemáticas siempre pueden sorprenderte, por muy experto que seas.

Volvamos ahora a la pregunta inicial. Si tiene una superficie infinita, nunca se podría pintar su cara interior con un bote de pintura. Sin embargo, al tener un volumen finito, se puede introducir una cierta cantidad de pintura con la que llenar el embudo de la trompeta de Torricelli. Y si se llena el embudo esto significa que has pintado la cara interior, que acabamos de decir que es infinita. Ahí está la paradoja.

¿Sorprendente, verdad? Pues realmente esta paradoja no es tal. Primero, porque esto no deja de ser un objeto matemático; no se puede construir en la realidad una trompeta infinitamente larga. Y segundo, aunque se llenase de pintura la trompeta, no se pintaría toda su superficie interna. Al hacerse infinitamente estrecha, llegaría un momento que las moléculas de la pintura no podrían avanzar. En otras palabras, el diámetro de la trompeta sería más pequeño que el diámetro de una molécula de pintura, por lo que no se cubriría el resto de la superficie de la trompeta. 

La trompeta de Torricelli también se conoce en ocasiones como el cuerno de Gabriel. Este nombre sugiere la imagen del Arcángel Gabriel haciendo sonar su cuerno para anunciar el día del Juicio Final, asociando así el infinito, los poderes de Dios, con lo finito, el mundo terrenal.

6 comentarios:

  1. Excelente entrada, es una pena que se recuerde a Torricelli más por físico que como matemático. De hecho fue uno de los grandes matemáticos que atisbaron el cálculo que venía. Lo más probable es que la trompeta la encontrase mientras resolvía los problemas de cuadraturas, estudiando a Cavalieri y Fermat. Precisamente su cerrazón a la geometría de Cavalieri y la prontitud de su muerte puede que le negara protagonismo en el descubrimiento del cálculo.

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  2. jeje, muy buena la entrada.

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  3. Completo por qué esto no sería una paradoja en la vida real. Supongamos que estos objetos se pudieran construir, y además que los átomos son infinitamente pequeños, es decir, que pudieran entrar en cualquier sitio. ¿Podríamos pintar entonces esa superficie infinita?

    Pues aún suponiendo lo anterior tampoco, o mejor dicho, no podríamos con una "capa estándar de pintura". Es decir, una capa de pintura tiene un grosor y a partir de cierto momento, el grosor de la trompeta será menor al grosor de la capa por lo que no valdría el razonamiento del problema.

    Otra forma de decir esto, si pintáramos dicha superficie infinita con el método propuesto, al final la capa de pintura sería finísima.

    Y es que si pudiéramos ir aplicando una capa de pintura tan fina como queramos, podríamos incluso pintar todo R^2 por poca pintura que tengamos (pero que tengamos algo), por ejemplo con la que pille la brocha en un golpe.

    Te he soltado todo este rollo porque hace poco estuve pensando precisamente en dicha paradoja. Tengo pensado planteársela a los alumnos a ver cómo son capaces de afrontarla. Espero que no conozcan este blog!! :D

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  4. Carlos, me gusta tu rollo :)
    Lo incorporaría al texto, pero como hay pocos comentarios, seguro que el que lea la entrada también leerá tu comentario y se quedará más que satisfecho. Gracias!
    Jesús, pues sí, quién sabe lo que podría haber descubierto Torricelli si hubiese vivido más años. Una pena.
    Carmen, ¿de qué te ries?...Jejeje

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  5. genial el articulo :)

    pero gabriel es solo un ángel, solo miguel es el arcángel

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  6. Hola Raúl,

    Muchas gracias, :-)

    En cuanto a Gabriel, sin tener mucha idea de estas cosas y teniendo que recurrir a Wikipedia, parece que sí era uno de los arcángeles:

    https://es.wikipedia.org/wiki/Arc%C3%A1ngel

    Un saludo y muchas gracias por comentar.

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