Los anillos de Borromeo

A finales del siglo XIV, el joven Vitaliano Borromeo llegó a Milán procedente de Padua y de San Miniato, en la Toscana. Con el paso de los años se fue haciendo un hueco en la ciudad y consiguió entrar en la corte del Duque de Milán, Filippo Visconti, primero como tesorero (1418) y más tarde ascendiendo a consejero (1441). Su valioso trabajo fue recompensado en 1445 con el título de Conde de Arona.

A la muerte de Vitaliano en 1449, su hijo Filippo cogió las riendas de la familia Borromeo. Amplió el negocio bancario que había empezado su padre, extendiéndolo a Londres y Barcelona, y convirtiéndose en uno de los banqueros más importantes de toda la región. En 1450, apenas un año después de la muerte de su padre, Filippo fue nombrado “caballero de Oro” por Francesco Sforza, que había sucedido a Visconti como Duque de Milán. Éste fue, seguramente, el momento culminante de la familia Borromeo.

Escudo de armas de la familia Borromeo
hacia mitad del siglo XV.

La imagen anterior representa el escudo de armas de la familia en aquella época. Destaca el unicornio con una corona de oro en el cuello, añadido a petición del Duque de Milán cuando Vitaliano fue nombrado Conde (la serpiente comiéndose a un niño es el símbolo de los Visconti).

Y justo al lado del unicornio, debajo de las bandas diagonales, aparecen tres anillos entrelazados, regalo de Francesco Sforza como reconocimiento al apoyo que la familia Borromeo prestó en la defensa de Milán. Se piensa que los anillos representan a las familias Visconti, Sforza y Borromeo, que formaron una “unión inseparable” por medio de matrimonios: Filippo se casó con Francesca Visconti y, más tarde, su hija Giustina también se casaría con otro miembro de la familia Visconti.

Estos anillos así dispuestos es lo que hoy se conoce como los anillos de Borromeo, unos sencillos objetos entrelazados que han despertado la curiosidad tanto de matemáticos como de químicos.

Representación clásica de los anillos de Borromeo.

La unión hace la fuerza

La familia Borromeo no fue la primera en utilizar estos anillos como símbolos. Se conocen representaciones mucho más antiguas, que se remontan al siglo II d.C., en el arte budista de la región de Gandhara, al sureste de Afganistán. Otra versión posterior, y con forma de triángulo, llamada Valknut, fue utilizada por los vikingos (la palabra Valknut proviene del noruego antiguo, en el que valr significa guerrero difunto y knut, nudo).

Detalle del grabado en una piedra donde aparecen el Valknut
(Imagen retocada por Nbarth, del original de Berig).

¿Qué es lo que tienen de especial los anillos de Borromeo para que haya fascinado a culturas tan distintas? Su principal característica es que no están enlazados dos a dos. Es decir, tal y como están dispuestos, los tres anillos permanecen unidos. Pero si cortas uno sólo de ellos, el que quieras, la unión se desmorona y los tres anillos se separan. Esta propiedad, que en matemáticas se conoce como brunniana –en honor al matemático alemán Hermann Brunn (1862-1939), que fue el primero en hablar de ella-, ha hecho que los anillos de Borromeo se hayan usado desde hace mucho tiempo para representar la fuerza de la unión (y, a la vez, la fragilidad de la misma cuando falla una de las partes). Por ejemplo, en un manuscrito francés del siglo XIII se utilizaron los anillos de Borromeo como símbolo de la Santísima Trinidad. Otro caso más actual, y completamente diferente, es el logo de la Unión Matemática Internacional (IMU, de sus siglas en inglés), que se inspiró en los anillos de Borromeo para representar la interconexión existente, no sólo entre los diversos campos de las matemáticas, sino también entre la propia comunidad de matemáticos de todo el mundo.

Los anillos de Borromeo, como símbolo de la Santísima Trinidad cristiana.

El estupendo logo de la UMI, diseño del matemático estadounidense John M. Sullivan
(Crédito: John M. Sullivan).

Los anillos en las matemáticas

La aparición de los anillos de Borromeo en el ámbito de las matemáticas se hizo esperar hasta la segunda mitad del siglo XIX. En aquella época ya se sospechaba que todas las cosas estaban hechas de átomos, aunque no se conocía la naturaleza concreta de estos átomos, puesto que nadie había visto uno. El físico y matemático británico Lord Kelvin propuso en 1867 que los átomos eran nudos, pequeños remolinos o vórtices en el éter, esa misteriosa sustancia que ocupaba todos los espacios vacíos como si fuese un fluido (y que hoy sabemos que no existe). De acuerdo con esta sorprendente teoría, si se clasificaban todos los nudos posibles se podría entender las propiedades de los átomos –y, por tanto, de la materia en general-; por ejemplo, cómo absorben o emiten luz. Otro físico matemático de las Islas, Peter Guthrie Tait, se pasó muchos años realizando una tabla de nudos convencido de que estaba creando una tabla de elementos. (Su trabajo no fue en balde: Tait puso una de las primeras piedras de la teoría de nudos.) En una de ellas de 1876 aparecieron por primera vez los anillos de Borromeo, aunque nadie los llamaba así todavía. Para eso hubo que esperar casi un siglo, hasta que Ralph H. Fox se refirió a esa figura con el nombre anillos de Borromeo en su obra de 1962 A quick trip through knot theory.

Desde el punto de vista geométrico, los anillos de Borromeo no son más que tres círculos dispuestos de una manera determinada. Si observas la figura de los anillos de Borromeo, existen seis puntos en los que un anillo se cruza con otro. Puesto que en cada cruce hay dos posibilidades distintas (que se haga por arriba o por debajo del círculo en cuestión), resulta que en total tenemos 2⁶ = 64 posibles configuraciones diferentes. Ahora bien, si tenemos en cuenta las simetrías del sistema, estas sesenta y cuatro configuraciones se reducen a sólo diez modelos geométricamente distintos (de los cuales uno de ellos son nuestros anillos de Borromeo). Se considera que dos modelos son el mismo si uno puede obtenerse a partir del otro aplicando una o varias de las operaciones de simetría siguientes: rotación de 120°, reflexión, y reflexión en el plano del objeto. Esta última operación significa que todos los cruces se invierten: si el círculo pasa por arriba en un determinado cruce, ahora pasará por abajo, y viceversa.

Los anillos de Borromeo también pueden ser analizados desde el punto de vista de la topología, la rama de las matemáticas que estudia las propiedades más básicas de los objetos, sin importarle la forma exacta o el tamaño. Si un objeto puede ser manipulado y deformado  sin romperse hasta convertirse en otro objeto, entonces se dice que ambos son topológicamente equivalentes. Es el caso, por ejemplo, de una taza de café y una rosquilla. Volviendo a los anillos de Borromeo, los diez modelos geométricos anteriores se reducen a sólo cinco distintos desde el punto de vista de la topología. (Si quieres profundizar en el asunto, puedes encontrar más información en esta página.)

Una ilusión óptica
Antes de seguir adelante, tengo que detenerme para aclarar una cosa. Hemos visto que los anillos de Borromeo se representan habitualmente mediante tres círculos. Pero, ¿y si te dijese que esa imagen es una ilusión óptica y en la realidad es imposible construirlos con círculos? ¿Verdad que sería increíble? Pues aunque te resulte sorprendente, así es. Y si no lo crees, hay una manera muy sencilla de comprobarlo. Construye con alambre tres círculos y verás que tienes que retorcerlos y deformarlos para conseguir que encajen como los anillos de Borromeo. Este resultado tan intuitivo, una vez que lo verifica uno mismo, también tiene su fundamento matemático: en 1987, los matemáticos Michael Freedman y Richard Skora demostraron que los anillos de Borromeo no pueden construirse con circunferencias planas. En cambio, si en vez de circunferencias utilizas elipses -o cualquier otra figura que no sea completamente circular-, no hay ningún problema en construir los anillos. (Todo esto no invalida para nada lo que se dijo en el apartado anterior sobre las propiedades geométricas y topológicas de los anillos de Borromeo.)

Algo así quedaría al intentar construir los anillos con círculos en la realidad.

Los anillos de Borromeo, versión elipses.

Y ahora, la química

Y si pensabas que esto era todo, espera un momento. Todavía queda una última sorpresa. Además de ser un objeto matemático de lo más interesante y servir como símbolo de unidad, los anillos de Borromeo han encontrado una inesperada aplicación ¡en la química! 

En efecto, en 2003, un grupo de químicos de UCLA y la Universidad de Missouri, encabezados por J. Fraser Stoddart, creó un compuesto con unos anillos de Borromeo moleculares de apenas 2,5 nanómetros que incluía dieciocho componentes, entre ellos seis iones metálicos de zinc. Stoddart, que fue hasta 2007 el director del Instituto de Nanosistemas de California, admitió que habían conseguido uno de los retos más ambiciosos de la llamada topología molecular, una rama de la química matemática que se dedica a describir la estructura de los compuestos químicos. La topología molecular permite predecir las propiedades de moléculas ya existentes y, también a la inversa, crear moléculas nuevas a partir de propiedades predeterminadas.

Los anillos de Borromeo moleculares de Stoddart & co.

En la actualidad, los investigadores buscan la forma de utilizar estos anillos de Borromeo moleculares en campos como la espintrónica, una forma de electrónica avanzada que  aprovecha la carga y el espín de los electrones.  También se piensa que podría encontrar aplicaciones en la mejora de las imágenes médicas.

Quién iba a pensar que los anillos de Borromeo iban a dar tanto juego, ¿verdad? Si Vitaliano y Filippo levantaran la cabeza...

NOTA: Esta entrada participa en la Edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas que organiza Clara Grima en su blog seispalabras. También participa en la V Edición del Carnaval de la Química que alberga José Manuel López Nicolás en su blog SCIENTIA.

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