¿La regla de L'Hôpital o la regla de Bernoulli?

Cualquier estudiante de bachillerato de ciencias debe conocer el nombre de L`Hôpital y su famosa regla matemática para calcular límites indeterminados de la forma 0/0. En concreto, la regla de L’Hôpital dice que, dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en x=c, de manera que f(c)=0 y g(c)=0, entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x), siempre que este límite exista. Esto que dicho así puede sonar un poco complicado para los no iniciados, tiene una representación matemática bien sencilla:

con las condiciones que hemos comentado más arriba.

Esta regla lleva el nombre del matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de L´Hôpital (1661-1704), quien escribió en 1692 la obra Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (1696), el primer libro sobre cálculo diferencial. El libro está dividido en diez secciones y, en particular, la novena incluye el resultado que hoy se conoce como la regla de L’Hôpital.

El marqués y su peluca (fuente) 

La obra tuvo un gran éxito en su época y se imprimieron varias ediciones durante el siglo XVIII. En la introducción, el autor reconoce sus deudas con Gottfried Leibniz y Johann Bernoulli, de quienes “me he servido libremente de sus descubrimientos". L’Hôpital afirma que Leibniz está en posesión de un Cálculo semejante al de Newton, pero que se inclina por el del primero, “por estar expuesto más fácil y expeditivo”. De Bernoulli, sin embargo, no añade nada, aparte de decir que era profesor en Groningen.

Entonces, ¿quién era Johann Bernoulli y por qué estaba en deuda el marqués de L’Hôpital con él?

Johann Bernoulli

En contra de la opinión de su padre, el décimo hijo de los Bernoulli, Johann, estudió medicina en la Universidad de Basilea. Al mismo tiempo, recibía en secreto clases de matemáticas de su hermano mayor Jacob, a quien pronto igualó en conocimientos. En 1691 participó en su primer reto matemático, la determinación de la ecuación de la catenaria, lanzado por Jacob. El joven Johann resolvió el problema rápidamente, asombrando a sus contemporáneos.

Johann Bernoulli, ya talludito (fuente)

En uno de sus viajes a París, Johann Bernoulli conoció al marqués de L'Hôpital, que ya por entonces era uno de los matemáticos franceses más importantes del país. Éste se quedó maravillado del talento del joven Bernoulli y de su dominio del cálculo diferencial e integral que Leibniz había creado. Consciente de sus limitaciones, L’Hôpital contrató a Johann para que le enseñase los secretos del nuevo cálculo a cambio de una generosa cantidad económica. Las clases continuaron por correspondencia cuando Johann tuvo que volver a Basilea, bajo la promesa de no decírselo a nadie.

Johann aprovechó la ocasión para recopilar las cartas con la idea de confeccionar un curso de cálculo diferencial. Pero el alumno se adelantó al maestro. Haciendo uso de las lecciones de Johann, L'Hôpital publicó en 1696 el primer tratado sobre cálculo diferencial “Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes".

El libro de la discordia (fuente)

Silenciado por la promesa hecha al marqués, Johann no reclamó su autoría. Pero en privado, se lamentó de que L’Hôpital hubiese plagiado tan descaradamente sus descubrimientos. En una carta enviada a Leibniz en 1698, Bernoulli afirmaba que “con excepción de unas pocas páginas, todo lo restante él lo recibió de mí en forma escrita[…] Su principal mérito consiste en que puso orden y escribió cuidadosamente en francés aquello que sin orden expuse para él, parte en francés y parte en latín”. Sólo después de la muerte del marqués en 1704, Bernoulli realizó una serie de reivindicaciones públicas de sus numerosos resultados, y en particular de la regla de L’Hôpital.

Pero entonces Johann se vio perjudicado por su fama de pendenciero. Había mantenido una feroz rivalidad con su hermano y tutor Jacob, y con su propio hijo Daniel, a quien él mismo había adiestrado en la materia. También había participado activamente en la polémica entre Newton y Leibniz por la prioridad en el descubrimiento del cálculo, tomando partido por Leibniz. Por el contrario, la reputación del marqués era intachable. Las reclamaciones de Johann no sirvieron de nada y muy pronto cayeron en el olvido.

La correspondencia perdida

El primer indicio de que las reivindicaciones de Johann podían ser ciertas apareció en 1922, cuando se encontró en la Biblioteca de Basilea un ejemplar del curso de Cálculo diferencial de Johann que éste nunca llegó a publicar. Si uno compara su curso con el libro de L’Hôpital, resulta evidente que la esencia de ambos es la misma.

Pero la prueba definitiva salió a la luz en 1955, cuando aparecieron las primeras correspondencias entre Johann y L’Hôpital. Entonces se descubrió la sorprendente propuesta que el marqués de L’Hôpital hizo a Johann Bernoulli, en una carta fechada el 17 de marzo de 1694.

“Yo le daré con placer a Ud. una pensión de 300 libras, la cual comienza desde el 0l de Enero del presente año, y le mandaré 200 libras para la primera parte del año, por las revistas que Ud. ha mandado, y le daré otras 150 libras por la otra parte del año y así en el futuro. Le prometo incrementar estas pensiones pronto, pues reconozco que son modestas, y lo haré tan pronto como mis negocios sean menos confusos….Yo no soy tan irrazonable como para pretender de Ud. todo su tiempo, pero sí pretendo que de él me proporcione ocasionalmente algunas horas para trabajar en lo que le pregunte, y también, para que me comunique sus descubrimientos, con la condición de no nombrarlos a otros. También le digo que no envíe ni a Varignon ni a otros copias de estas notas, pues no me agradaría. Respóndame a todo esto.“

Aunque la respuesta de Bernoulli no se conserva, se entiende que aceptó el trato (algo que no debe extrañarnos si tenemos en cuenta que Johann sólo tenía por entonces 24 años y estaba sin trabajo). En las cartas posteriores, Bernoulli escribe al marqués respondiendo a sus preguntas. Precisamente una de ellas contiene la regla de L’Hôpital. Además, los ejemplos proporcionados por Bernoulli son casi idénticos a los que luego incluiría en su obra el marqués. Aunque también hay que admitir que L’Hôpital corrigió algunos errores que Bernoulli había cometido, como el hecho de considerar que la integral de 1/x era finita.

Johann Bernoulli falleció a los 80 años. Entre su enorme legado matemático muy pocos incluyen como suyo lo que hoy seguimos llamando la regla de L’Hôpital. 

NOTA: Esta entrada participa en la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas que organiza Javi Oribe & co. desde Hablando de Ciencia.

BIBLIOGRAFÍA:

1. Carl B. Boyer, A History of Mathematics. John Wiley & Sons, 1968.
2. Carlos Sánchez, Concepción Valdés, Los Bernoulli, geómetras y viajeros. Editorial Nívola, 2001.
3. María Cristina Solaeche, La controversia L'Hospital - Bernoulli. Divulgaciones matemáticas 1, 1993, 99-104.
4. Daniel Martín, Los Bernoulli. ¿Cómo ves?, 136, 26-29.