Fractales, los colores del infinito

A finales del siglo XIX y principios del XX, varios matemáticos inventaron una serie de extrañas figuras geométricas con las que pretendían demostrar las limitaciones del análisis clásico. Esta "galería de monstruos", como las denominaría el matemático francés Henri Poincaré, incluía curvas que recubrían todo el plano (la curva de Peano, surgida de la mente del italiano Giuseppe Peano en 1890 y la curva de Hilbert, una creación del alemán David Hilbert en 1891), una curva que se cruzaba a sí misma en todos sus puntos (la alfombra de Sierpinski, ideada por el polaco Waclaw Serpinski en 1915) y una curva de longitud infinita que encerraba un área finita (el copo de nieve de Koch, descubierto por el sueco Helge von Koch en 1906). 

Primeros cuatro pasos de la construcción de la curva de Peano (fuente)

Primeros ocho pasos de la construcción de la curva de Hilbert (fuente)

Sexta iteración de la alfombra de Sierpinski (fuente)

Primeros siete pasos del copo de nieve de Koch (fuente)

Habría que esperar a que se extendiera el uso de los ordenadores para que se empezaran a estudiar en profundidad este tipo de figuras. El matemático francés de origen polaco Benoit Mandelbrot, que trabajaba como investigador en IBM, fue el primero en comprender la existencia de un nuevo tipo de objeto matemático, que podían surgir a partir de unas reglas bien sencillas, y cuya principal característica era la autosimilitud. Esta propiedad consiste en que el objeto en cuestión tiene la misma estructura a cualquier escala. Si coges, por ejemplo, un segmento de la curva de copo de nieve y la amplías cuantas veces quieras, el resultado conservará la misma estructura que el original. Mandelbrot bautizó a estas nuevas figuras geométricas como fractales, del latín fractus, que significa quebrado, irregular.

La curva del copo de nieve de Koch,ampliado hasta el infinito (fuente)

Los fractales no sólo eran un objeto matemático abstracto, sino que servían también para modelar fenómenos naturales complejos e irregulares. De hecho, la naturaleza está plagado de estructuras que se adaptan muy bien a esta nueva geometría. Un trozo minúsculo de línea costera, ampliado diez veces, sigue pareciendo una línea costera. Y lo mismo se puede decir de montañas, nubes, árboles, glaciares, ríos, cráteres o una simple coliflor. Como escribiría el propio Mandelbrot, "las nubes no son esferas, las montañas no son círculos, la corteza de un árbol no es lisa y el relámpago no viaja en línea recta".

El delta de del río Ganges, en el golfo de Bengala (fuente)

Todo esto y mucho más se explica en Fractals: the colors of infinity, un estupendo documental para la televisión rodado en 1995 y que, aunque tiene ya casi veinte años, sigue siendo una magnífica introducción al mundo de los fractales, eso sí, en inglés. El documental cuenta además con un elenco de lujo: presentado por Arthur C. Clarke, el escritor de ciencia ficción y visionario, el programa entrevista a algunos de los matemáticos punteros de la época, como el propio Benoit Mandelbrot, Ian Stewart, Michael Barnsley, además de contar con la presencia del físico Stephen Hawking.

Si todo esto no fuese motivo suficiente para ver el documental, hay todavía un aliciente más. ¡La banda sonora está compuesta por David Gilmour, el guitarrista de Pink Floyd! Esos pasajes del documental, con animaciones de fractales y la guitarra de Gilmour sonando de fondo, valen su peso en oro y elevan el documental a la categoría de mítico. 

Por cierto, que un músico como Gilmour componga la banda sonora de un documental científico es de esas cosas que sólo ocurren en Inglaterra.

NOTA: Esta entrada participa en la Edición 4.123105 del Carnaval de Matemáticas que organiza en esta ocasión David Orden en su blog Cifras y Teclas.