El problema de la cuerda que rodea la Tierra

En esta ocasión traigo al blog un problema matemático. No te asustes, aunque aparecen algunas fórmulas, es bastante sencillo y merece la pena llegar hasta el final. La solución resulta sorprendente, al menos en un primer momento, y demuestra cómo a veces las matemáticas más básicas consiguen pillar desprevenida a nuestra intuición. 

Vamos allá. Supongamos que tienes un balón de fútbol y le atas una cuerda. Vamos a considerar que el balón no está abombado y es perfectamente esférico; también supondremos que la cuerda lo rodea de tal manera que forma una circunferencia cuyo radio es el mismo que el del balón. En esta situación, ¿cuánto deberías alargar la longitud de la cuerda para lograr que la distancia entre ella y la superficie del balón fuese, por ejemplo, de un decímetro en todos sus puntos? No contestes todavía y sigue leyendo.

A continuación nos olvidamos del balón de fútbol y pensamos en una esfera mucho más grande, la Tierra. (Vale, ya sé que está ligeramente achatada por los Polos, pero...). Nos buscamos una cuerda de algo más de cuarenta mil kilómetros y rodeamos con ella la Tierra por el Ecuador.  Y ahora nos hacemos la misma pregunta que antes. ¿Cuánto debería alargar la longitud de la cuerda para lograr que la distancia entre ella y la superficie fuera de un decímetro a lo largo de todo el ecuador?

Ahora ya puedes intentar responder a ambas preguntas. Te dejo un poco de tiempo para pensar mientras escucho a Coltrane...

¿Ya? Pues vamos con la solución. Llamemos r al radio del balón y R al radio de la Tierra. La longitud de la cuerda que se ciñe al balón equivale al perímetro de un círculo de radio r. Esta longitud se puede calcular utilizando una fórmula que todos aprendemos en la escuela, l=2pr. De forma análoga, en el caso de la Tierra, la longitud de la cuerda será L=2pR. Cuando separamos la cuerda, lo que hacemos es formar un nuevo círculo cuyo radio es un decímetro mayor. Es decir, l'=2p(r+1) y L'=2p(R+1), siempre que expresemos el radio en decímetros.

Sigamos, que ya queda poco. Si comparamos la longitud de la cuerda antes, 2pr, y después, 2p(r+1), vemos que la diferencia entre una y otra es 2p. Muy bien, ¿y para el caso de la Tierra? Haciendo lo propio, resulta que llegamos a la misma conclusión, 2p, es decir, ¡apenas unos 6,28 decímetros! De hecho, el resultado es siempre 2p, con independencia del radio de la esfera que consideremos, ya sea una canica, la Tierra o el Sol.

La conclusión, en realidad, no tiene nada de sorprendente. El perímetro de una circunferencia es proporcional a su radio y, por lo tanto, tiene una sencilla representación gráfica.

Si recordamos algo de matemáticas básicas, este tipo de ecuaciones se escriben de forma general y=mx, donde m es la pendiente de la recta. Haciendo un poco de memoria, cualquier variación de x, Dx, implica una variación de y, Dy, por lo que m=Dy/Dx. Como en nuestro caso m=2p y estamos considerando siempre variaciones de x igual a 1 (la diferencia entre los radios de las circunferencias), entonces la variación de longitud Dy=2p. Y esto se cumplirá para cualquier radio que consideremos.

Un problema muy parecido a éste fue incluido por el matemático inglés William Whiston en el libro The elements of Euclid, una edición de la famosa obra publicada en 1702 para los estudiantes de Cambridge. Whiston fue, por cierto, el sucesor de Isaac Newton en la Cátedra Lucasiana de Matemáticas de la Universidad de Cambridge. 

NOTA: Esta entrada participa en la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas que alberga en esta ocasión Resistencia Numantina.

FUENTE:
Clifford A. Pickover, The Math Book. Sterling, 2009.

Resonancias magnéticas portátiles (o cómo hacer realidad el tricoder de Star Trek)

Seguro que los aficionados de Star Trek se acuerdan del llamado tricoder, un sofisticado dispositivo portátil de escaneo utilizado en la famosa serie de ciencia-ficción. En su primera versión, el tricorde tenía el tamaño de un radiocasete de los antiguos, iba equipado con una correa para colgarlo del hombro y hacía un ruido considerable. Y bastaba pasarlo por el cuerpo de una persona para que la tripulación médica del Enterprise fuese capaz de diagnosticar cualquier enfermedad.

Estos aparatos del futuro son muy distintos de nuestros actuales equipos de resonancia magnética, que pesan varias toneladas, ocupan media habitación y requieren una instalación eléctrica apropiada. (Sólo se parecen, eso sí, en el ruido que hacen.) Sin embargo, es posible que dentro de poco los avances en la tecnología consigan reducir su tamaño al de un simple teléfono móvil. 

(Puedes seguir leyendo el resto de la entrada en Hablando de Ciencia)

Un cangrejo ermitaño de nombre un tanto extraño

El 25 de junio de 2009, un grupo internacional de paleontólogos se encontraban trabajando en una cantera de caliza abandonada en Olazagutía, Navarra, cuando realizaron un descubrimiento extraordinario. Encontraron un fósil de una nueva especie de cangrejo ermitaño que vivió hace cien millones de años, en pleno Cretáceo. Por aquel entonces, la Tierra estaba dominada por los dinosaurios y esta zona en concreto era un arrecife de coral.

El fósil del cangrejo ermitaño (Crédito: Physorg.com)

Ese mismo día, mientras comían en un restaurante de Alsasua, los paleontólogos escucharon la noticia de la muerte de la famosa estrella de pop, Michael Jackson. Todavía no le habían puesto nombre a su descubrimiento, así que decidieron llamarle Mesoparapylocheles MICHAELJACKSONI (las mayúsculas son mías). ¡Toma ya! Según Adiel Klompaker, uno de los paleontólogos, la elección del nombre es apropiada, ya que "la música de Michael Jackson perdurará mucho tiempo e influenciará a mucha gente". El descubrimiento se ha hecho público este mes en una revista alemana, así que el nombre del cangrejo ermitaño ya es oficial.

La elección puede parecer rara (que lo es), pero resulta que eso de poner un nombre científico en honor de una persona famosa no es algo tan extraño. Te recomiendo que consultes esta lista de nombres. No tiene desperdicio y algunos son de traca.

NOTA: Esta entrada participa en la IX Edición del Carnaval de Biología que organiza en esta ocasión La ciencia de la vida.

(Visto en Physorg.com)

The Feynman Series (III): Curiosity

Después de la primera y la segunda, tenía pendiente esta entrada con la tercera y, de momento, última entrega de las llamadas Series de Feynman. En esta ocasión, el bueno de Richard Feynman habla sobre la curiosidad. 

Posiblemente éste sea el vídeo que mejor retrata a Feynman, un hombre curioso como pocos. Recordemos que, con apenas 11 años, montó un laboratorio en su habitación donde se dedicaba a desmontar y reparar todo tipo de aparatos, especialmente radios. Su habilidad era tal que en su barrio todos acudían a él para reparar sus aparatos estropeados, a pesar de que sólo era un chaval. Todo se debía a su curiosidad por conocer cómo funcionan las cosas y su interés en resolver rompecabezas.

Una de las cosas que más me ha gustado de este vídeo es cómo explica Feynman que el mundo que nos rodea, por muy complejo que parezca, está gobernado por leyes sencillas. Lo que ocurre muchas veces, y ahí se lamenta Feynman -e incluso se lo recrimina al entrevistador-, es que sólo nos interesan los últimos avances científicos y nos olvidamos de comprender los principios básicos que subyacen detrás de ellos. Queremos empezar la casa por el tejado, cuando la ciencia lleva siglos construyéndose desde unos sólidos pilares, ladrillo a ladrillo. 

El mensaje de Feynman está más vigente que nunca. Eso es lo que le hace tan grande.

El cielo sobre el VLT

Normalmente estos vídeos los suelo colgar en la página del blog en Facebook, salvo que considere que merece tener su propia entrada. Éste es uno de esos casos. Se trata de un timelapse realizado desde la cima del Cerro Paranal, una montaña ubicada en el desierto de Atacama, al norte de Chile. A más de dos mil seiscientos metros de altura se emplaza el Very Large Telescope (VLT), el observatorio óptico más avanzado del mundo y que consta de cuatro grandes telescopios. (Del VLT ya habíamos hablado en otra ocasión, cuando consiguió captar la nebulosa de material que rodea a la estrella Betelgeuse). 

En este marco incomparable, los astrónomos Stephane Guisard y José Francisco Salgado del European Southern Observatory, la mayor organización astronómica de Europa, han realizado uno de los timelapse más hermosos de los últimos tiempos. Además de captar en todo su esplendor la belleza del cielo austral, el vídeo permite ver en acción al VLT. Especialmente espectacular es el rayo láser que se emite desde uno de los telescopios; este rayo, que alcanza los noventa kilómetros sobre la superficie terrestre, crea una estrella artificial que sirve para ajustar la óptica de los instrumentos.

Crédito: ESO/G. Hüdepohl (www.atacamaphoto.com)

En definitiva, ocho minutos que se pasan volando y en los que hasta la música es un acierto. A disfrutarlo, como siempre en estos casos, en HD, a pantalla completa y a todo volumen.