La pizarra de Dmitri Ivanenko

Pocas pizarras en el mundo pueden considerarse tan afortunadas como la del físico ruso Dmitri Ivanenko (1904-1994). Desde 1944, y durante medio siglo, Ivanenko organizó un seminario de física teórica en la Universidad de Moscú. Su gran virtud fue el amplio abanico de problemas que se trataban, y su intento de conectarlos con los diversos campos de la física teórica, ya fuese física de partículas, nuclear o teoría de campos. Los físicos más ilustres del mundo fueron a dicho seminario, entre ellos varios premios Nobel como Paul Dirac, Hideki Yukawa, Niels Bohr, Illya Prigogine, Samuel Ting, Murray Gell-Mann o Gerard 't Hooft. A todos estos Ivanenko les pidió que dejaran en la pizarra de su despacho una frase para la posteridad.

Éste es el resultado.

"Physical law should have mathematical beauty" (Dirac, 1956) | Fuente

El inglés Paul Dirac escribió con tiza lo siguiente: “Una ley física debe poseer belleza matemática”. Esta era, según el premio Nobel de 1933, la esencia de la física.

"Nature is simple in its essence" (Yukawa, 1959) | Fuente

Hideki Yukawa, el japonés pionero de la moderna teoría de las fuerzas nucleares fuertes y premio Nobel de 1949, dejó la frase: “La naturaleza es simple en su esencia”.

"Contraria non contradictoria complementa sunt" (Bohr, 1961) | Fuente

El danés Niels Bohr, padre de la teoría cuántica del átomo, escribió allí la máxima de su famoso principio de complementariedad: “Contraria non contradictoria complementa sunt” (los contrarios no son contradictorios, sino complementarios).

"Time precedes existence" (Prigogine, 1987) | Fuente

El ruso Illya Prigogine, estudioso del tiempo y premio Nobel de química en 1977, sentenció “El tiempo precede a la existencia”.

"Physics is an experimental science" (Ting, 1988) | Fuente

Samuel Ting, premio Nobel en 1976 por el descubrimiento del mesón J/psi, escribió“La física es una ciencia experimental”.

"Read 'Nature Conformable to Herself' in complexity" (Gell-Mann, 2007) | Fuente

El estadounidense Murray Gell-Mann, premio Nobel de 1969, dejó para la posteridad “Leed 'la naturaleza se conforma a sí misma' en complejidad”.

"History repeats itself and will continue to do so, but not in a predictable manner" ('t Hooft, 2011) | Fuente

Gerard 't Hooft, holandés premio Nobel de 1999, escribió el epígrafe “La historia se repite y seguirá haciéndolo, pero no de una manera predecible”.

Dmitri Ivanenko | Fuente

Dmitri Ivanenko fue uno de los físicos rusos más importantes del siglo XX. Profesor de la Universidad de Moscú durante más de medio siglo, hizo importantes contribuciones a la física nuclear, teoría de campos y teoría gravitatoria. Publicó más de 300 artículos científicos, incluyendo seis monografías y once volúmenes. Entre otros logros, fue el primero en afirmar que el neutrón formaba parte del núcleo atómico y predijo la existencia de la radiación de sincrotón, esto es, los rayos X que emiten los electrones al girar por el acelerador a gran velocidad.

NOTA: Esta entrada participa en la Edición LIX del Carnaval de la Física cuyo blog anfitrión es El mundo de las Ideas.

Las apuestas de Stephen Hawking

(Esta entrada apareció publicada en el número seis de la revista Buk Magazin, que puedes leer online.)

Stephen Hawking, en Los Simpsons (fuente)

El físico inglés Stephen Hawking es uno de los científicos más importantes y famosos de la actualidad. No sólo por su trabajo en cosmología, estudiando el Big Bang y los agujeros negros, sino también por su labor divulgativa; sus libros han vendido millones de ejemplares en todo el mundo. La imagen de Hawking, que está postrado en una silla de ruedas y habla a través de un ordenador desde hace décadas, es ya un icono popular que ha trascendido de los círculos científicos.

Lo que no es tan conocido es que a Hawking le encanta hacer apuestas con sus colegas sobre asuntos científicos, aunque a la vista de los resultados hay que reconocer que no se le da tan bien como la física teórica. Ya en 1975, Hawking apostó contra Kip Thorne que la fuente de rayos X Cygnus X-1 no contenía un agujero negro. En caso de ganar, Thorne conseguiría una suscripción anual a la revista Penthouse, mientras que si Hawking tenía razón obtendría una suscripción a la revista satírica Private Eye durante cuatro años. En esta ocasión podríamos decir que Hawking se cubrió las espaldas. Como él mismo explica en su famoso libro Historia del Tiempo, sería una desgracia para él si los agujeros negros no existiesen, después de todo el tiempo que les ha dedicado. En tal caso, al menos tendría el consuelo de ganar la apuesta y disfrutar de Private Eye. La apuesta todavía tiene que resolverse, aunque los científicos están seguros al 99 por ciento de que Cygnus X-1 contiene un agujero negro.

El original de la apuesta sobre Cygnus X-1 (fuente)

De nuevo Thorne, junto con John Preskill, fue el protagonista de la siguiente apuesta de Hawking en 1991. Hawking aseguraba que nunca podríamos observar directamente un agujero negro, porque nada puede escapar de él, ni siquiera la luz. Sin embargo, en 1997 se demostró matemáticamente que, bajo determinadas circunstancias concretas y muy improbables, seríamos capaces de ver el corazón de un agujero negro, un punto infinitamente pequeño con una densidad infinitamente grande. Esto es lo que se conoce en el argot como una singularidad desnuda. Hawking aceptó a regañadientes que había perdido y pagó los 100 dólares a sus colegas. También tuvo que imprimir camisetas con un eslogan admitiendo la derrota. Hawking escogió “La Naturaleza aborrece las singularidades desnudas”, lo que en parte también era una reivindicación de su punto de vista.

Representación artística de un agujero negro (fuente)

Ese mismo año, Thorne cambió de bando y se alió con Hawking, apostando ambos contra Preskill que un agujero negro destruye para siempre toda la información que cae en él. Preskill, en cambio, creía que existe un mecanismo por el que esa información sí se podría recuperar. Por increíble que resulte, se ha demostrado que Preskill tenía razón: existe un proceso, que irónicamente el propio Hawking demostró, por el cual un agujero negro se evapora muy lentamente, y al hacerlo emite parte de esa información que se daba por perdida. En 2004 Hawking hizo entrega de su regalo a Preskill, una enciclopedia de béisbol. Según el contenido de la apuesta, “el perdedor debía pagar su deuda con la enciclopedia que eligiera el ganador, de la que la información se puede recuperar cuando se desee”.

Preskill, recogiendo su enciclopedia de béisbol (fuente)

Hace algo más de una década, en 2000, Hawking se jugó cien dólares con el físico estadounidense Gordon Kane a que nunca se encontraría el bosón de Higgs, la elusiva partícula del modelo estándar que daría masa al resto de partículas elementales. Después de años de búsqueda, el LHC del CERN confirmó oficialmente su descubrimiento el verano de 2012. Poco después, Hawking admitía su derrota con un lacónico “parece ser que he perdido 100 dólares”, a la vez que felicitaba a los científicos del CERN.

Todo esto no desmerece la enorme labor científica de Hawking, eterno aspirante a premio Nobel y capaz por sí solo de cambiar nuestra visión del Universo. Otra cosa es que ésta sea la última apuesta que pierda... ¿Te juegas algo? 

El día en que pudo cambiar el valor de pi

¿Te imaginas por un momento que alguien se atreviera a cambiar el valor de pi, la relación matemática entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, bien conocida desde los antiguos griegos? No solo eso, ¿qué pensarías si además se quisiera sacar tajada de ello y legislarlo mediante una ley? Pues todo eso y mucho más ocurrió a finales del siglo XIX, cuando el estadounidense Edwin J. Goodwin (1825-1902) afirmó haber encontrado un método para realizar la famosa cuadratura del círculo.

El problema de la cuadratura del círculo era bien conocido desde la antigua Grecia. Se cree que fue Anaxágoras, aproximadamente en el año 600 A.C. quien planteó el problema de construir, con regla y compás, un cuadrado que tuviese el mismo área que un círculo dado. Pasaron más de dos mil años sin que nadie encontrara una solución, hasta que el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que, tal y como la habían planteado los antiguos griegos, la cuadratura del círculo era imposible. 

Ferdinand Lindemann

Sin entrar en detalles, podemos entender lo que ocurre. El área de un círculo es π·r², donde r es el radio de dicho círculo. La del cuadrado es a², siendo a el lado del cuadrado. Si queremos que ambas áreas sean iguales, entonces:

π·r² = a²

Y despejando a, resulta que

a = r·√π

Resolver el problema algebraico es bastante sencillo. Pero si queremos resolverlo como lo plantearon los griegos tendríamos que poder dibujar π con regla y compás. ¿Y realmente podemos? Si π fuese racional (de la forma m/n, donde m y n son números enteros con b distinto de cero), no habría mayor inconveniente. Incluso si π fuese irracional (que no se pudiese escribir de la forma m/n) todavía habría esperanzas. Se pueden construir con regla y compás números irracionales. Si dibujas, por ejemplo, un triángulo rectángulo con los catetos de longitud 1, la hipotenusa medirá √2, que es irracional. Esto es posible porque √2 es solución de la ecuación x²-2=0. Todos los que se pueden expresar como solución de una ecuación algebraica pertenecen a una clase de números llamados algebraicos y se pueden dibujar mediante regla y compás. 

Si un número no es algebraico, entonces se dice que es trascendente, como el número e, y en tal caso nunca podrá ser dibujado con regla y compás. De esta forma, el milenario problema de la cuadratura del círculo se reduce a la simple cuestión de si el número π es algebraico o trascendente. Eso fue lo que demostró Lindemann en 1882: π era trascendente y, por tanto, no se puede dibujar con regla y compás, lo que acabó con las esperanzas de todos los matemáticos de conseguir resolver este problema.

¿He dicho todos? Bueno, no. Hubo un matemático llamado Edwin J. Goodwin que pasó por alto los avances de todos sus predecesores, culminado por Lindemann. En realidad, Goodwin no era más que un médico rural que vivía en el pueblo de Solitude, Indiana, y que en su tiempo libre -debía tener mucho- se aficionó a las matemáticas. Al parecer, Goodwin ya había logrado resolver otros famosos problemas matemáticos imposibles, como la trisección del ángulo y la duplicación del cubo. En todos estos casos, Goodwin había publicado la solución en la revista matemática The American Mathematical Monthly. Y en todos ellos, el artículo estaba encabezado por una nota diciendo que se publicaba a petición del autor. Dicho de otro modo, la revista no se hacía responsable del contenido del artículo. Sospechoso, ¿verdad?

Edwin J. Goodwin

En su demostración de la cuadratura del círculo no se menciona explícitamente a pi. Pero hacia el final de la segunda sección se dice que "la relación entre el diámetro y la longitud de una circunferencia es de cinco cuartos a cuatro". Como esa es exactamente la definición de pi, la afirmación de Goodwin significaba que ¡pi valía 3,2! De nada había servido que, más de dos mil años atrás, Arquímedes ya hubiese demostrado que el valor de pi estaba comprendido entre 3+(10/70) y 3+(10/71), una aproximación mucho más buena que el valor -erróneo- dado por Goodwin. El genio de Siracusa debió retorcerse en su tumba.

Esquema que utilizó Goodwin para su "demostración"

Pero eso no es todo. A pesar de este y otros disparates que contenía su demostración, Goodwin estaba tan satisfecho con su descubrimiento que lo registró, con la idea de que cualquiera que lo utilizara tuviera que pagarle derechos de autor. Al mismo tiempo decidió que su estado natal de Indiana sí podría usarlo para beneficio de sus escolares. De hecho, Goodwin embaucó al representante por Indiana, Taylor I. Record, y le propuso presentar en la Asamblea legislativa un proyecto de ley que recogiese lo anterior. El título lo dice todo: Proyecto de ley que presenta una nueva verdad matemática y que es ofrecido como una contribución a la educación que sólo podrá ser utilizado por el Estado de Indiana de forma gratuita sin necesidad de pagar ningún tipo de derechos de autor, siempre y cuando sea aceptado y adaptado en forma oficial por la legislatura en 1897. Ahí queda eso.

La cadena de despropósitos no había hecho más que empezar. Después de recibir el visto bueno de la Comisión de Educación, el proyecto de ley número 246 de las sesiones del año 1897 llegó al Congreso. El resultado de la votación no dejó lugar a dudas: 67 votos a favor, ninguno en contra. Ya solo faltaba la aprobación del Senado y el valor de pi quedaría establecido en Indiana como 3,2.

El mismo día que se debatía el proyecto de ley en el Senado, se encontraba en el edificio C. A. Waldo, un profesor de matemáticas de la Universidad de Purdue, que había acudido a la ciudad para gestionar el presupuesto anual de la Academia de Ciencia de Indiana. Waldo se quedó muy sorprendido al enterarse que en el Senado estaban debatiendo una ley sobre matemáticas. Pero su sorpresa se transformó en espanto cuando comprendió el disparate que estaba a punto de cometerse. Una vez terminada la sesión, le ofrecieron conocer en persona al mismísimo Goodwin, lo que Waldo rechazó enérgicamente (“ya me han presentado a tantos locos como estoy dispuesto a conocer”). Por suerte, el Senado de Indiana no había completado la aprobación final del proyecto de ley y el profesor Waldo tuvo tiempo de convencer a un número suficiente de senadores para que postergaran el proyecto de forma indefinida.

C.A.Waldo, el salvador de Indiana

Y así fue cómo el estado de Indiana se salvó de hacer el mayor de los ridículos y consiguió que lo que todavía hoy se conoce como Indiana Pi Bill, el proyecto de ley de Indiana sobre pi, se quedase en eso, un simple proyecto.

NOTA: Esta entrada participa en la Edición 4,12310 del Carnaval de Matemáticas que organiza en esta ocasión el blog de Rafael Miranda, Geometría Dinámica.

BIBLIOGRAFÍA:

1. Texto completo del Proyecto de Ley (en inglés).
2. La demostración de la cuadratura del círculo, tal y como se publicó (en inglés).
3. Errores, lapsus y gazapos de la historia, Gregorio Doval. Editorial Nowtilus, 2011.

Un cangrejo ermitaño de nombre un tanto extraño

El 25 de junio de 2009, un grupo internacional de paleontólogos se encontraban trabajando en una cantera de caliza abandonada en Olazagutía, Navarra, cuando realizaron un descubrimiento extraordinario. Encontraron un fósil de una nueva especie de cangrejo ermitaño que vivió hace cien millones de años, en pleno Cretáceo. Por aquel entonces, la Tierra estaba dominada por los dinosaurios y esta zona en concreto era un arrecife de coral.

El fósil del cangrejo ermitaño (Crédito: Physorg.com)

Ese mismo día, mientras comían en un restaurante de Alsasua, los paleontólogos escucharon la noticia de la muerte de la famosa estrella de pop, Michael Jackson. Todavía no le habían puesto nombre a su descubrimiento, así que decidieron llamarle Mesoparapylocheles MICHAELJACKSONI (las mayúsculas son mías). ¡Toma ya! Según Adiel Klompaker, uno de los paleontólogos, la elección del nombre es apropiada, ya que "la música de Michael Jackson perdurará mucho tiempo e influenciará a mucha gente". El descubrimiento se ha hecho público este mes en una revista alemana, así que el nombre del cangrejo ermitaño ya es oficial.

La elección puede parecer rara (que lo es), pero resulta que eso de poner un nombre científico en honor de una persona famosa no es algo tan extraño. Te recomiendo que consultes esta lista de nombres. No tiene desperdicio y algunos son de traca.

NOTA: Esta entrada participa en la IX Edición del Carnaval de Biología que organiza en esta ocasión La ciencia de la vida.

(Visto en Physorg.com)

La Constitución de 9491 Thooft

El holandés Gerard ‘t Hooft es una de los grandes físicos de las últimas décadas. Su trabajo sobre la llamada interacción electrodébil mereció el Premio Nobel de Física en 1999, compartido con su colega Martin Veltman. En reconocimiento a su labor científica, en abril de 2000 la Unión Astronómica Internacional nombró a uno de los asteroides que orbitan en el Cinturón de Asteroides como 9491 Thooft. Entre sus vecinos está el asteroide B 612, que es el planeta imaginario de la novela El Principito, de Antoine de Saint-Exupéry.

Situación del asteroide 9491 Thooft el 30 de Agosto de 2011
(NASA/JPL).

¿Qué es lo que harías tú en caso de que hubiesen bautizado un asteroide con tu nombre? ‘t Hooft, con su peculiar sentido del humor, no tuvo dudas: escribir una constitución para que sus futuros habitantes la aprueben el día de su futura independencia. El primer borrador de la Constitución de 9491 Thooft fue concebido el 17 de abril de 2000, y cuenta con los siguientes catorce artículos:

Artículo 1

9491 Thooft tiene una zona territorial de 137,036 km en todas direcciones, medido desde su centro de masas inercial.

Artículo 2

Todo extranjero que llegue a 9491 Thooft debe estar en posesión de:

Ø    Un visado de visitante (V-1) si va a permanecer en 9491 Thooft por un periodo menor a un año 9491 Thooft.

Ø Un visado de inmigrante (I-1) para aquellos que vayan a permanecer de manera indefinida.

Ø   Un visado de vuelo (F-1) para aquellas naves tripuladas y no tripuladas que quieran entrar en la zona territorial.

Artículo 3

La cantidad de dificultad burocrática requerida para obtener cualquiera de los visados anteriores debe ser siempre menor que la mitad de lo que deben soportar los postdoctorados extranjeros y sus familias cuando desean pedir un trabajo temporal en Holanda. Esto incluye desde luego la ciudad de Utrecht. (Nota: ‘t Hooft es catedrático de Física de la Universidad de Utrecht, de ahí la referencia explícita a la ciudad.)

Todas las regulaciones burocráticas publicadas que afecten a los habitantes o visitantes de 9491 Thooft sólo se aplicarán cuando y donde sirvan para un objetivo razonable. Las reglas generales no pueden ser instituidas sin excepciones, para tener en cuenta aquellos casos en que puedan ser contraproducentes y dañinas.

Si, en una delegación del gobierno, alguien tiene que esperar en la cola durante más de 15 minutos, el funcionario en cuestión está obligado a pedir perdón humildemente y explicar la razón de la tardanza.

Artículo 4

Ya que la Unión Astronómica Internacional no ha podido colocar un apóstrofe en el nombre de 9491 Thooft, se perseguirá el uso de apóstrofes en todo el territorio de 9491 Thooft. No se permitirá en el asteroide el uso de teclados que tenga un apóstrofe. (Nota: para conocer algunas peculiaridades de la grafía de su apellido, podéis ver aquí su propia explicación.)

Aclaración: No sólo se ha quitado el apóstrofe del nombre, sino también el espacio entre t y Hooft, y se han cambiado las letras mayúsculas. Sin embargo, como los espacios antes y después del nombre todavía están presentes, y ya que la t se puso en mayúsculas, se admiten teclados con barras espaciadoras y letras mayúsculas. Se debe corregir otro malentendido: si su nombre es D'Arcy, u O'Connor, o # & '!' 96, usted puede visitar el asteroide, pero durante la visita, y en su visado, estos nombres serán deletreados como: Darcy, Oconnor y # &! 96. Huelga decir que la frase anterior de la aclaración no se mostrará en las versiones de la Constitución usada en el asteroide.

Artículo 5

Toda industria en 9491 Thooft debe hacer uso de unidades métricas o de unidades de Planck, con la excepción de las unidades de tiempo descritas en el Artículo 12. En particular, se declaran ilegales las millas, las pulgadas y los galones. (Nota: puñalada explícita a los ingleses, sí señor.) Se prohíbe el uso de unidades gaussianas, esu o emu. El tensor métrico debe darse con la convección de signo (-+++).

Artículo 6

Todas las bibliotecas y edificios universitarios en 9491 Thooft deben permanecer abiertos de día y de noche, a pesar de la duración de los días y las noches en 9491 Thooft.

Artículo 7

Aunque la forma exacta de 9491 Thooft sea actualmente desconocida, se debe castigar cualquier comparación con cifras obscenas o productos de comida insanos.

Artículo 8

Aquellos que sean sorprendidos ensuciando 9491 Thooft no deben ser multados, pero sí serán condenados a la limpieza de la región del delito, a la satisfacción de las autoridades locales.

Artículo 9

Los formularios fiscales en 9491 Thooft nunca deben ser más largos que una página. Se define una página como un trozo de texto que no contiene más de 600 palabras. A su vez, una palabra no puede contener más de 12 letras, siendo una letra uno de los, como máximo, 127 símbolos diferentes.

Aclaración: estas especificaciones detalladas fueron exigidas por, al menos, un lector atento que, justificablemente, no confía en ningún burócrata, ni siquiera en los de 9491 Thooft. Los 127 símbolos incluyen minúsculas, mayúsculas, números, comas, guiones, etc., pero, por supuesto, el apóstrofe queda excluido.

Artículo 10

Mientras los científicos en 9491 Thooft seguirán la búsqueda de teorías unificadas del Universo, la unificación del Cinturón de Asteroide también recibirá un fuerte impulso. 9491 Thooft buscará la manera de incorporarse a un posible Cinturón Unido de Asteroides, aunque no a costa de su propia herencia cultural y lingüística, o de su Constitución.

Artículo 11

Privilegios como la admisión en una universidad deben decidirse exclusivamente sobre la base de una capacidad demostrada, no sobre la base de raza, sexo, religión, información directamente sacada del genoma de alguien, o cualquier clase de sistema de lotería.

Artículo 12

Los años y los días se cuentan de acuerdo con los períodos orbitales y períodos de rotación. El día del descubrimiento por C. J. van Houten e I. van Houten-Groeneveld (con el telescopio Schmidt en el Observatorio Palomar), el 25 de marzo de 1971 en la notación de la Tierra, será el Día 0 del Año 0.

Aclaración: no repetimos el loco error de los cristianos, que comenzaron con el día 1 del año 1. Los nombres de nuestros héroes nacionales serán por supuesto deletreados como C.J. Vanhouten e I. Vanhouten-Groeneveld. Un año 9491 Thooft dura 1203.5927 días de la Tierra, o 3.295 años de la Tierra (posibilidad de futuras correcciones no excluidas).

Artículo 13

No se permiten armas de ninguna clase en o debajo de la superficie de 9491 Thooft, o dentro de su zona territorial. Se define un arma como cualquier objeto construido con el objetivo de matar o dañar a la gente. Este artículo se aplica a todas las clases de armas.

Estos artículos cubren armas de mano así como armas de destrucción masiva, sin tener en cuenta que se apunten con ellas a habitantes del asteroide o a algún otro miembro de la raza humana. Una de las consecuencias de este artículo es que no se puede aplicar violencia alguna en hacer cumplir la Ley, ya que los Oficiales de Aplicación de la Ley no estarán exentos de esta regulación. Se hace cumplir la ley únicamente mediante debate y persuasión, y la pena a los infractores será la exposición y el desprecio. Se les aconsejará continuamente que se marchen. Los jueces pueden condenar a un autor a llevar una etiqueta de identificación en la oreja, claramente visible e inamovible.

Artículo 14

9491 Thooft tiene libertad de religión. Esto implica que no se permiten los insultos acerca de las creencias religiosas de una persona, grupo o secta. Sin embargo, hay un límite fundamental de esta libertad. No se permite adorar o predicar la violencia hacia la gente u otras posibles formas de vida inteligentes. Si una religión está basada en una o varias escrituras sagradas que contienen páginas que abogan por la violencia contra no creyentes, excepto creyentes o seguidores de creencia diferentes, no se reconocerán aquellas páginas como sagradas.

Por lo tanto, los insultos dirigidos directamente a tales páginas están permitidos. Esta limitación fue olvidada por aquellas civilizaciones occidentales primitivas del siglo XXI en el planeta Tierra, un descuido que ha causado una confusión innecesaria entre sus habitantes.

Obtención del visado (anexo)

Se han recibido varias solicitudes para la obtención de un visado para el asteroide 9491 Thooft. Se necesita lo siguiente:

1. Una copia de la primera página de su pasaporte, y una fotografía si no se muestra en su pasaporte.
2. Una copia de su certificado de nadador. (Por favor envíe estas copias por correo electrónico como un .gif, .jpg u otro archivo reconocible.)
3. Una prueba de que usted nunca ha sido golpeado por un meteorito.
4. La cantidad de 94,91 florines Thooft en un cheque.
5. Si usted solicita un visado de vuelo, se deben incluir los detalles de vuelo de su nave espacial.

En vista del Artículo 3 de la Constitución 9491 Thooft, sin embargo, sus burócratas están obligados a considerar con mucho gusto aquellas peticiones donde no se proporcionen todos, o ninguno, de los susodichos requisitos. Al candidato se le pedirá enviarnos sustitutos razonables.

¿Qué te ha parecido? Puedes ver la página web con la Constitución original aquí. Y si tienes alguna propuesta que hacerle, sólo tienes que escribirle a su correo electrónico, g.thooft@phys.uu.nl.